[Planimetria] Prostopadłość przekątnych

[mol_ksiazkowy]

Wykaż fakt: jeśli w pewnym czworokącie wypukłym istnieje okrąg weń wpisany oraz inny styczny do przedłużeń jego boków - tzw. okrąg dopisany, to wtedy przekątne są do siebie prostopadłe. Czy twierdzenie odwrotne jest prawdą?

[ Dodano: 18 Października 2008, 17:34 ]
--> Jesli w czworokat \(\displaystyle{ ABCD}\) mozna wpisac okrąg to * \(\displaystyle{ AB+CD = AD+BC}\). Z załozenia wynika, ze okrag styczny do przedluzen boków tj \(\displaystyle{ AB, CD}\) istnieje. Punkty stycznosci ozn \(\displaystyle{ N, P}\) zas przedluzenia \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ AB}\) sa ztyczne do tego okregu w \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ M}\) rys. Zatem

\(\displaystyle{ AB= AM- BM}\)
\(\displaystyle{ BC= BN- CN}\)
\(\displaystyle{ DC= DP- CP}\)
\(\displaystyle{ AD= AQ- DQ}\)

tj \(\displaystyle{ AB-DC= AM- BM-DP+CP}\)
\(\displaystyle{ AD-BC= AQ- DQ-BN+CN}\)

z tego widac, ze \(\displaystyle{ AB-DC= AD-BC}\) bo odpowiednie styczne sa równe.
tj \(\displaystyle{ CN=CP}\) itd

Dodajac to stronami do * uzyskamy ze \(\displaystyle{ AB=AD}\) i \(\displaystyle{ BC=DC}\) tj
czworokat ABCD jest deltoidem, a wiec przekatne jego przecinaja sie pod katem prostym ,
cbdo