[Analiza] Jakie warunki muszą zajść by..

[Tifulo]

Niech \(\displaystyle{ a>b>c>1}\). Znajdź rozwiązania w liczbach dodatnich:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ax>y+z \\ by>x+z \\ cz>x+y \end{cases}}\)

[mol_ksiazkowy]

Problem 23 /Nierozwiązane problemy

Ukryta treść:    

Ograniczę się jednie do przedstawienia banalnych punktów

1. W interpretacji geometrycznej rozwiązaniem układu jest część wspólna trzech półprzestrzeni (im większe są \(\displaystyle{ a, b, c}\) tym więcej istnieje rozwiązań)
2. gdy \(\displaystyle{ c>2}\) układ ten ma trywialne rozwiązanie \(\displaystyle{ x=y=z}\)
3. Jeśli \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) jest jednym z rozwiązań to \(\displaystyle{ (tx, ty, tz)}\) jest też jednym z rozwiązań, gdy \(\displaystyle{ t >0}\)
4. Układ \(\displaystyle{ \begin{cases} 3x > y+z \\ 2y > x+z \\ z >x+y \end{cases}}\)
nie ma rozwiązań (czemu ?), ale np. układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} 4x > y+z \\ 3y > x+z \\ 2z >x+y \end{cases}}\)
ma rozwiązanie np. \(\displaystyle{ x=3 \ y=3 \ z=4}\)
5. Jeśli założyć iż \(\displaystyle{ z < x}\) i \(\displaystyle{ z <y}\) to można rozpatrywać jedynie \(\displaystyle{ cz >x+y}\)
równoważność układu z
\(\displaystyle{ \begin{cases} (a+1)x > x+ y+z \\ (b+1)y > x+y+ z \\ (c+1)z >x+y+z \end{cases}}\)
co mogłoby mieć formę
\(\displaystyle{ \begin{cases} z< x \\ z <y \\ \frac{1}{c-1} < \frac{y}{x} < c-1 \end{cases}}\)

wtedy rozpatrując pozostałe przypadki (np. \(\displaystyle{ (b+1)y < (a+1)x}\) i \(\displaystyle{ (b+1)y < (c+1)z}\) ) całościowe rozwiązanie byłoby alternatywą takich trzech rozwiązań...