[Nierówności] nierówność w liczbach naturalnych 2

[rochaj]

Pokaz ze dla kazdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}<\{ \sqrt{7}n\}<1-\frac{1}{6n}.}\)

[marcin7Cd]

zadanie 33. z 101 nierozwiązanych

Ukryta treść:    

oznaczmy przez \(\displaystyle{ k}\), część całkowitą liczby \(\displaystyle{ \sqrt{7}n}\). otrzymujemy
\(\displaystyle{ \left\{ \sqrt{7}n \right\}=\sqrt{7}n-k=\frac{7n^{2}-k^{2}}{\sqrt{7}n+k}> \frac{7n^{2}-k^{2}}{ 2 \sqrt{7}n}>\frac{7n^{2}-k^{2}}{6n} \ge \frac{3}{6n}=\frac{1}{2n}}\)
Ostatnia nierówność wynika z tego, że \(\displaystyle{ 7n^{2}-k^{2}>0}\) (z niewymierności i definicji części całkowitej) i \(\displaystyle{ 7n^{2}-k^{2} \neq 1,2}\) (to wynika z tego, że \(\displaystyle{ -1,-2}\) nie są resztami kwadratowymi \(\displaystyle{ \pmod{7}}\))
Drugą nierówność oszacujemy inaczej. Na początek rozważmy \(\displaystyle{ n \ge 2}\). Tezę jest równoważna\(\displaystyle{ \frac{1}{6n}< 1- \left\{\sqrt{7}n \right\}=1+k-\sqrt{7}n=\frac{(1+k)^{2}-7n^{2}}{1+k+\sqrt{7}n} \ge \\ \frac{1}{1+k+\sqrt{7}n}>\frac{1}{1+2 \sqrt{7}n} \ge \frac{1}{\frac{1}{2}n+\sqrt{7}n}>\frac{1}{6n}}\)
Pozostaje trywialny przypadek \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ \left\{ \sqrt{7} \right\}<1-\frac{1}{6} \Leftrightarrow \sqrt{7}-2<\frac{5}{6} \Leftrightarrow \sqrt{7}<\frac{17}{6} \Leftrightarrow 7<\frac{289}{36}=8\frac{1}{36}}\)