[MIX] max mix

[mol_ksiazkowy]

1. Znajdź wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: D \to D}\):
\(\displaystyle{ f(xf(y))=yf(x)}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in D,}\)
gdzie \(\displaystyle{ D=[1, +\infty).}\)
2. Wyznacz wszystkie zbiory \(\displaystyle{ A}\), których elementami są liczby rzeczywiste nieujemne i takie, że:
(a) zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawiera co najmniej cztery elementy
(b) Jeśli elementy \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) należa do \(\displaystyle{ A}\) i są parami różne, to \(\displaystyle{ ab+cd \in A.}\)
3. Niech \(\displaystyle{ n \geq 2}\). Wykaz, ze każdy element ciągu
\(\displaystyle{ n!+1, n!+2, ...,n!+n}\)
ma dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\), który nie jest dzielnikiem żadnego innego elementu tego ciągu.
4. Wykaż że ciąg \(\displaystyle{ a_n=\sqrt{24n+1}}\) , gdzie n jest liczba naturalna, zawiera wszystkie liczby pierwsze \(\displaystyle{ p>3}\).
5. Udowodnij, zę dla dowolnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ m, n}\) ,jeśli \(\displaystyle{ mn+1}\) jest podzielne przez 24, to \(\displaystyle{ m+n}\) także jest podzielne przez 24.

6. Wykaż że wewnątrz dowolnego pięciokąta wypukłego, którego wszystkie wierzchołki są punktami kratowymi- istnieje pewien punkt kratowy.
Uwaga: Punkt kratowy, to taki którego obie współrzędne są całkowite.
7. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x}\) takie że liczba
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}}\)
jest całkowita.
8. Rozstrzygnij, czy istnieją takie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a, b, c}\) iż
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{3}a<|b-c|\\\sqrt{3}b<|c-a|\\\sqrt{3}c<|a-b|.\end{cases}}\)
9. Iloczyn pewnych 48 liczb naturalnych ma dokładnie 10 różnych dzielników pierwszych. Wykaż, że wśród tych 48 liczb znajdą się cztery takie, ze ich iloczyn jest pełnym kwadratem.
10. Wykaż, ze dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \geq 1}\) wielomian
\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+x)^{2^{n}}+1}\)
nie jest iloczynem dwóch niestałych (tj stopnia \(\displaystyle{ \geq 1}\) ) wielomianów o współczynnikach całkowitych.
11. Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \ x+y+z+t=12\\x^2+y^2+z^2+t^2=50\\ x^3+y^3+z^3+t^3=252 \\ x^2t^2+y^2z^2=2xyzt.\end{cases}}\)
12. Niech \(\displaystyle{ x, a, b}\) to będą liczby naturalne , takie iż \(\displaystyle{ x^{a+b}=a^b b}\). Wykaż, ze \(\displaystyle{ a=x}\) i \(\displaystyle{ b=x^x}\)
13. Rozwiąż układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{a}{x}-\frac{b}{z}=c-zx \\ \frac{b}{y}-\frac{c}{x}=a-xy\\ \frac{c}{z}-\frac{a}{y}=b-yz.\end{cases}}\)

14. Wykaż, ze w ciągu \(\displaystyle{ \lfloor \sqrt{2} \rfloor}\), \(\displaystyle{ \lfloor 2\sqrt{2} \rfloor}\), \(\displaystyle{ \lfloor 3\sqrt{2} \rfloor}\),... istnieje nieskończenie wiele wyrazów, będących potęgami dwójki.
15. Wykaz, ze liczba \(\displaystyle{ N=111....111222...222}\) zbudowana ze stu cyfr 1 i stu cyfr 2, jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych, tj \(\displaystyle{ N=n(n+1)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \{1, 2, ...\}.}\)
16. Na płaszczyznie narysowano okręgi \(\displaystyle{ O_j}\)- w każdym punkcie kratowym jako środku, o promieniu \(\displaystyle{ r=\frac{1}{14}}\). Wykaż, że jeśli narysuje się w dowolny sposób okag O, o promieniu \(\displaystyle{ R=100}\) to musi on przeciąc co najmniej jeden z tych małych okregów \(\displaystyle{ O_j}\).
17. Wykaz, że jeśli liczby \(\displaystyle{ a, b, c > 1,}\) to:
\(\displaystyle{ (a^2-1)(b^2-1)(c^2-1) \leq (abc-1)^2.}\)
18. Niech \(\displaystyle{ F_n}\) będzie zbiorem tych bijekcji \(\displaystyle{ f: \{1, 2,...,n \} \to \{1, 2,...,n \}}\) takie, że
(a) \(\displaystyle{ f(k) \leq k+1}\) dla \(\displaystyle{ k=1,2,....,n}\)
(b) \(\displaystyle{ f(k) \neq k}\) dla \(\displaystyle{ k=2,....,n.}\)
Znajdź prawdopodobieństwo, iż \(\displaystyle{ f(1) \neq 1}\) dla losowo wybranej \(\displaystyle{ f}\) ze zbioru \(\displaystyle{ F_n.}\)

19. \(\displaystyle{ m, n}\) beda liczbami naturalnymi, takie, ze \(\displaystyle{ A=\frac{(m+3)^n+1 }{3m}}\) jest całkowita. Wykaz, ze \(\displaystyle{ A}\) jest nieparzysta. Dać przykład takich liczb.
20. Tożsamość
\(\displaystyle{ 1^2+2^2+3^2+...+24^2=70^2}\)
nasuwa przypuszczenie, że możliwe jest pokrycie kwadratu 70x70 24-ma kwadratami o wymiarach 1x1, 2x2, 3x3, ....24x24. Czy takie pokrycie istotnie jest możliwe?

[kaszubki]

4:

Ukryta treść:    

Teza jest równoznaczna udowodnieniu, że ciąg \(\displaystyle{ a_n=24n+1}\) zawiera kwadraty wszystkich liczb pierwszych większych od 3.
Oznaczmy naszą liczbę pierwszą przez 2k+1 (k jest naturalne). Załóżmy, że \(\displaystyle{ 4k^2 + 4k + 1 \neq 24n +1}\), wtedy: \(\displaystyle{ 4(k+1)(k) \neq 24n \Rightarrow k(k+1) \neq 6n}\). \(\displaystyle{ k(k+1)}\) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb naturalnych, więc jest podzielne przez 2 i musi być podzielne przez 3, bo nie jest podzielne przez wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ k=1(mod\ 3)}\), ale wtedy liczba \(\displaystyle{ 2k+1}\) dzieli się przez 3, więc jest równa 3, bo jest pierwsze, czyli mamy sprzeczność. A zatem \(\displaystyle{ k(k+1)}\) jest podzielne przez 6, więc możemy ją przedstawić w postaci \(\displaystyle{ 6x}\), a skoro x jest naturalne i n jest naturalne, to możemy podstawić n pod x, czyli mamy sprzeczność.

[timon92]

czy treść ósmego zadania jest ok? bo wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a=b=c=-1}\)

jeżeli ograniczymy się do liczb nieujemnych to odpowiedź brzmi nie, gdyż podnosząc wszystkie nierówności do potęgi drugiej, sumując i przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę dostajemy \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca<0)}\), czyli \(\displaystyle{ (a+b+c)^2<0}\), co jest niemożliwe

[Qń]

Zadanie 17:    

Skoro \(\displaystyle{ a,b,c>1}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c} \in (0,1)}\). Istnieją zatem takie liczby \(\displaystyle{ x,y,z \in \left( 0, \frac{\pi}{2}\right)}\), że \(\displaystyle{ \frac{1}{a}=\sin x,\frac{1}{b}=\sin y,\frac{1}{c}=\sin z}\).
Jeśli podzielimy nasze równanie przez \(\displaystyle{ a^2b^2c^2}\) i wstawimy do niego powyższe zależności, to otrzymamy do udowodnienia nierówność:

\(\displaystyle{ (1-\sin^2x)(1-\sin^2y)(1-\sin^2z) \leq (1- \sin x\sin y\sin z)^2}\)
lub równoważnie:

\(\displaystyle{ \cos^2x\cos^2y\cos^2z \leq (1- \sin x\sin y\sin z)^2 \\
\cos x\cos y\cos z \leq 1- \sin x\sin y\sin z \\
\sin x\sin y\sin z + \cos x\cos y\cos z \leq 1}\)

Ale mamy:

\(\displaystyle{ \sin x\sin y\sin z + \cos x\cos y\cos z \leq \sin x\sin y + \cos x\cos y \leq \\ \leq \frac{\sin^2x +\sin^2y}{2} + \frac{\cos^2x+\cos^2y}{2} = 1}\)

co kończy dowód.

Q.

[klaustrofob]

5.

Ukryta treść:    

trochę na siłę. pokażę, że (m+1)(n+1) jest podzielne przez 24. ponieważ mn+1 jest podzielna przez 3, więc jedna z tych liczb musi być postaci 3k+2 (druga postaci 3k+1). wtedy iloczyn (m+1)(n+1) jest podzielny przez 3. podobnie, jedna z liczb musi być postaci 8k+7, czyli iloczyn (m+1)(n+1) jest podzielny przez 8. jeżeli iloczyn jest podzielny, to m+n=(m+1)(n+1)-(mn+1).

[Dumel]

molu, Ty to masz cierpliwość do tych zbiorowych tematów

1. Znajdz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: D \mapsto D}\):
\(\displaystyle{ f(xf(y))=yf(x)}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in D}\)
gdzie \(\displaystyle{ D=<1, +\infty)}\)

Ukryta treść:    

jeżeli \(\displaystyle{ f(a)=f(b)}\) to \(\displaystyle{ af(1)=f(1\cdot f(a))=f(1\cdot f(b))=bf(1)}\), a ponieważ \(\displaystyle{ f(1) \neq 0}\) więc funkcja jest różnowartościowa. kładziemy teraz x=y=1 i mamy \(\displaystyle{ f(f(1))=f(1)}\) więc \(\displaystyle{ f(1)=1}\). wykorzystując to i kładąc x=1 dostajemy \(\displaystyle{ f(f(x))=x}\). podstawiając teraz \(\displaystyle{ y:=f(y)}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ f(xy)=f(xf(f(y)))=f(x)f(y)}\) czyli f jest funkcją multiplikatywną.
załóżmy że dla pewnego x zachodzi \(\displaystyle{ f(x)<x}\). otrzymujemy:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{f(xf(y))}{y}= \frac{f( \frac{x}{f(x)}f(x)f(y) )}{y}= \frac{f( \frac{x}{f(x)})xy }{y}=xf( \frac{x}{f(x)})}\) czyli \(\displaystyle{ 1> \frac{f(x)}{x}=f( \frac{x}{f(x)})}\) - sprzeczność.
podobnie dla \(\displaystyle{ f(x)>x}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ x=f(f(x))=f( \frac{f(x)}{x}\cdot x)=f( \frac{f(x)}{x})f(x)}\) więc \(\displaystyle{ 1> \frac{x}{f(x)}=f( \frac{f(x)}{x})}\) - znowu zonk więc dla każdego \(\displaystyle{ x \in D}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(x)=x}\)

[klaustrofob]

15.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 1\ldots 12\ldots 2=1\ldots 1\cdot 10^{100}+2\cdot 1\ldots 1=1\ldots 1(10^{100}+2)=\frac{(10^{100}-1)(10^{100}+2)}{9}=\frac{(10^{100}-1)}{3}\cdot\frac{(10^{100}+2)}{3}}\) oba liczniki są liczbami całkowitymi podzielnymi przez 3, a ponieważ ich różnica wynosi 3, to różnica ilorazów wynosi 1, tj. "ułamki" są kolejnymi liczbami

[Inkwizytor]

7. Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x}\) takie że liczba
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}}\)
jest całkowita

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x=0}\) ale to oczywiste
Zatem Sprawdzamy dalej dla \(\displaystyle{ x>0}\) (ujemne odpadają bo pierwiastek kwadratowy)
Zgrubne oszacowanie:

\(\displaystyle{ \sqrt{x} \ge x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3 \\
\sqrt{x} \ge (x-3)\sqrt{x}+3}\)

Widać że \(\displaystyle{ x<4}\). Tak więc jeśli istnieją dalsze rozwiązania to \(\displaystyle{ x \in (0,4)}\)
Podstawienie pomocnicze \(\displaystyle{ x=t^2}\) czyli \(\displaystyle{ t \in (0,2)}\).
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}=c}\) , gdzie \(\displaystyle{ c \in \Z -\{ 0 \}}\)
c= 0 zostało napisane na początku.

Po lekkim przekształceniu i podstawieniu otrzymuję:
\(\displaystyle{ t=c((t^2-3)t +3) \\
t=c(t^3-3t+3)}\)
Analizujemy punkty przecięcia funkcji \(\displaystyle{ f(t)=t}\) i \(\displaystyle{ g(t)=c(t^3-3t+3)}\)

CDN (przepraszam ale nagła sprawa i muszę wykonac logout a nie chcę tracić zapisków )

[mol_ksiazkowy]

ad 15 idea

Ukryta treść:    

Widzimy, ze
\(\displaystyle{ 12=3*4}\)
\(\displaystyle{ 1122=33*34}\)
\(\displaystyle{ 111222=333*334}\)
stad zgadujemy iz n jest liczba "trojkowa", tj \(\displaystyle{ n=\frac{10^k-1}{3}}\)
Bezposredni rachunek nie przedstawia trudnosci.

6

Ukryta treść:    

Wezmy niech ABCDE to pieciokat (takze o wierzcholkach w punktach kratowych) o najmniejszym mozliwie polu sposrod wszystkich pieciokatów zawartych w danym pieciokacie. Jednym w typowych watkow zs Dirichleta jest fakt iz wsrod wierzcholkow 5 kata wypuklego istnieje para w1, w2, o odpowiednich wspolrzednych tej samej parzystosci, tak wiec srodek pewnej przekatnej lub pewnego boku pieciokata jest punktem kratowym. W pierwszym przypadku (dzieki wypuklosci ) mamy teze , Wykluczymy drugi: niech X bedzie srodkiem boku AB. Jednak wtedy dzieki wypuklosci XBCDE ma mniejsze pola niz ABCDE, tj sprzecznosc.

[Qń]

Zadanie 11:    

Zauważmy, że ostatnie równanie jest równoważne: \(\displaystyle{ (xt-yz)^2=0}\), czyli \(\displaystyle{ xt=yz}\).
Dokonajmy podstawienia:
\(\displaystyle{ x+t=a, xt = b, y+z=c, yz= d}\)
Wówczas nasz układ równań przybiera postać:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a+c =12 \\
a^2+c^2 -2b-2d= 50 \\
a^3+c^3 - 3ab-3cd = 252 \\
b=d
\end{cases}}\)
Po wstawieniu ostatniego równania do pozostałych:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a+c =12 \\
a^2+c^2 -4b= 50 \\
a^3+c^3 - 3b(a+c) = 252 \\
b=d
\end{cases}}\)
Po podzieleniu trzeciego równania stronami przez pierwsze i przekształceniu drugiego:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a+c =12 \\
a^2+c^2 = 50+4b \\
a^2+c^2-ac - 3b = 21 \\
b=d
\end{cases}}\)
Z pierwszego i drugiego równania mamy:
\(\displaystyle{ 144= a^2+c^2 +2ac= 50+4b+2ac}\), skąd \(\displaystyle{ ac = 47-2b}\)
Po wstawieniu tej zależności oraz drugiego równania do trzeciego mamy:
\(\displaystyle{ 50+4b+2b-47-3b=21}\), skąd \(\displaystyle{ b= 6}\)
Z uwagi na \(\displaystyle{ a+c=12, ac= 35}\), wiemy ze wzorów Vieta'a, że \(\displaystyle{ a,c}\) są rozwiązaniami równania:
\(\displaystyle{ u^2-12u+35=0}\)
czyli \(\displaystyle{ \{ a,c \} = \{ 5 ,7 \}}\)

Tak więc \(\displaystyle{ (a,b,c,d) = (5,6,7,6)}\) lub \(\displaystyle{ (a,b,c,d)= (7,6,5,6)}\)

W pierwszym wypadku \(\displaystyle{ x,t}\) są rozwiązaniami równania:
\(\displaystyle{ u^2-5u+6=}\),
czyli \(\displaystyle{ \{ x,t \} = \{ 2,3 \}}\)
a \(\displaystyle{ y,z}\) są rozwiązaniami równania
\(\displaystyle{ u^2 -7u+6=0}\)
czyli \(\displaystyle{ \{ y, z\} = \{ 1, 6 \}}\)
W drugim wypadku analogicznie.

Ostatecznie równanie ma osiem rozwiązań:
\(\displaystyle{ (1,2,3,6),(6,2,3,1),(1,3,2,6), (6,3,2,1), (2,1,6,3), (3,1,6,2), (2,6,1,3), (3,6,1,2)}\)

Q.

[mol_ksiazkowy]

Zadanie 20; jako Nierozwiązane problemy III, zadanie 4

Ukryta treść:    

autor= dvrx47

... ction.html
to tu znajduje się odpowiedź.
(jest bibliografia, ale link potrzebny nie działa - to chyba ten:)

Kod: Zaznacz cały

http://home.datacomm.ch/t_wolf/tw/misc/square_70.c

Nie zapoznawałem się dokładnie z tymi pracami - jednak z tego co widziałem zostały tam zastosowane heurystyki do komputerowego sprawdzenia czy da się pokryć takimi kwadratami.

Nierozwiazane problemy w tym Mixie:
2, 3, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 18, 19

[Premislav]

Przecież Qń rozwiązał zadanie siedemnaste, zresztą bardzo ładnie...

17. inaczej:    

Podstawmy \(\displaystyle{ a=1+p, b=1+q, c=1+r}\) gdzie \(\displaystyle{ p,q,r \in \RR^+}\)
Po żmudnych przekształceniach algebraicznych otrzymujemy nierówność
\(\displaystyle{ 8pqr+2pqr(p+q+r) \le(p+q+r+pq+qr+pr)^2}\)
A to wygląda na bardzo słabą nierówność. Zaczniemy od pokazania, że
\(\displaystyle{ (pq+qr+pr)^2 \ge 3pqr(p+q+r)}\)
Po rozpisaniu i skróceniu zwija się to do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\left[(pq-qr)^2+(pq-pr)^2+(qr-pr)^2 \right] \ge 0}\)
Ponadto odnotujmy, że w dodatnich
\(\displaystyle{ 2(p+q+r)(pq+qr+pr)>6pqr}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ (p+q+r+pq+qr+pr)^2=(p+q+r)^2+2(p+q+r)(pq+qr+pr)+(pq+qr+pr)^2 \ge \\
\ge(p+q+r)^2+6pqr+3pqr(p+q+r)}\)
Czyli wystarczy udowodnić, że
\(\displaystyle{ (p+q+r)^2+6pqr+3pqr(p+q+r)\ge 8pqr+2pqr(p+q+r)}\)
a po skróceniu:
\(\displaystyle{ (p+q+r)^2+pqr(p+q+r) \ge 2pqr}\)
a to już banalne: jeżeli
\(\displaystyle{ p+q+r>3}\), to \(\displaystyle{ (p+q+r)^2+pqr(p+q+r)>pqr(p+q+r)>3pqr>2pqr}\)
zaś jeżeli \(\displaystyle{ p+q+r \le 3}\), to z nierówności między średnimi
\(\displaystyle{ 1\ge \left( \frac{p+q+r}{3} \right)^3 \ge pqr}\)
więc
\(\displaystyle{ (p+q+r)^2+pqr(p+q+r) \ge (p+q+r)^2 \ge 9(pqr)^{\frac 2 3}>2(pqr)^{\frac 2 3} \ge 2pqr}\)
c.k.d.

[timon92]

17 raz jeszcze:    

\(\displaystyle{ (abc-1)^2-(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)=(ab-c)^2+(c^2-1)(a^2+b^2-2)\ge 0}\)

[bosa_Nike]

Do 17.:    

Ponadto odnotujmy, że w dodatnich
\(\displaystyle{ 2(p+q+r)(pq+qr+pr)>6pqr}\)

Tu można zwiększyć prawą stronę trzykrotnie, ale skoro z tym wychodzi, to nierówność rzeczywiście jest luźnawa.

[mol_ksiazkowy]

20 cd

Ukryta treść:    

problem ten został po raz pierwszy szerzej opisany przez Martina Gardnera w jego kolumnie „Mathematical Games” w magazynie Scientific American w 1966 roku. Gardner przytoczył go jako przykład zagadnienia związanego z liczbami figuratywnymi, znanego jako „problem armatnich kul” (ang. cannonball problem). Zagadnienie to polega na znalezieniu liczb, które są zarówno kwadratowe, jak i kwadratowo piramidalne. Jedynym nie-trivialnym rozwiązaniem tej równości jest właśnie 24 i 70:
Pierwsze komputerowe sprawdzenie tego problemu miało miejsce w 2002 roku, kiedy to Edward M. Reingold przeprowadził wyczerpujące przeszukiwanie komputerowe, które wykazało brak rozwiązania. Wyniki te zostały opublikowane w książce Gardnera z 1977 roku

link
math.stackexchange.com/questions/875570/is-it-possible-to-cover-a-70-times70-square-with-24-squares-with-side-length?utm_source=chatgpt.com