ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - TEORIA LICZB
(po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek wraz z rozwiązaniem)
1. Czy liczba \(\displaystyle{ 2^{19} \cdot 5^{98}}\):a) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 19}\) i przez \(\displaystyle{ 98}\)
b) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 10}\) do \(\displaystyle{ 20}\)
c) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 1000000}\)
d) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 2048}\)
2. Czy podana liczba jest różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych dodatnich:
a) \(\displaystyle{ 1000}\)
b) \(\displaystyle{ 1003}\)
c) \(\displaystyle{ 1002}\)
d) \(\displaystyle{ 1001}\)
3. Czy podana liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\):
a) \(\displaystyle{ 6^{2003} - 6}\)
b) \(\displaystyle{ 5^{2003} - 5}\)
c) \(\displaystyle{ 4^{2003} - 4}\)
d) \(\displaystyle{ 7^{2003} - 7}\)
4. Ile jest wszystkich liczb \(\displaystyle{ x}\) należących do zbioru \(\displaystyle{ \left\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ldots, \ 1998\right\}}\) takich, że liczba \(\displaystyle{ x^{2} + 19}\) jest podzielna przez:
a) \(\displaystyle{ 5}\)
b) \(\displaystyle{ 4}\)
c) \(\displaystyle{ 3}\)
5. Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ 10^{100} - 9}\) jest złożona.
6. Która z liczb jest większa:
\(\displaystyle{ 3^{100} - 2^{150}}\)
czy
\(\displaystyle{ 3^{50} - 2^{75}}\)
7. Wyznaczyć \(\displaystyle{ \mathbb{NWD}}\) liczb:
\(\displaystyle{ a = 2 \cdot 10^{100} + 1}\)
\(\displaystyle{ b = 5 \cdot 10^{100} + 7}\)
8. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) naturalnych liczby:
\(\displaystyle{ a = n+4}\)
\(\displaystyle{ b = n^2 - 6n + 26}\)
są względnie pierwsze.
9. Dowieść, że różnica kwadratów dwóch liczb niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\), dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\).
10. Uzasadnić, że zachodzi podzielność:
\(\displaystyle{ 33|16^{5} + 2^{15}}\)
11. Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczb:
\(\displaystyle{ 2^{99}}\)
\(\displaystyle{ 28^{9}}\)
12. Pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ p, \ q}\) są liczbami pierwszymi nie mniejszymi od 5, to liczba \(\displaystyle{ p^{2} - q^{2}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 24}\).
13. Suma dwóch liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą. Pokazać, że ich iloczyn jest liczbą parzystą.
14. Suma cyfr liczby trzycyfrowej jest równa \(\displaystyle{ 18}\). Cyfra jednostek jest dwa razy większa od cyfry setek, a cyfra dziesiątek jest średnią arytmetyczną cyfry setek i cyfry jedności. Jaka to liczba?
15. Liczby o \(\displaystyle{ 45\%}\) mniejsza i o \(\displaystyle{ 32\%}\) większa od ułamka okresowego \(\displaystyle{ 0,(60)}\) są pierwiastkami trójmianu kwadratowego o współczynnikach całkowitych względnie pierwszych. Oblicz resztę z dzielenia tego trójmianu przez dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\).
16. Znajdź taką liczbę dwucyfrową, której suma cyfr wynosi \(\displaystyle{ 7}\), jeśli wiesz, że po przestawieniu jej cyfr otrzymamy liczbę od niej mniejszą. Podaj wszystkie liczby spełniające warunek.
17. Liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\) są parami względnie pierwsze oraz spełniają równanie \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = c^{2}}\) liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) są nieparzyste. Udowodnij że \(\displaystyle{ b+c}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
18. Różnica cyfr liczby dwucyfrowej jest równa \(\displaystyle{ 5}\). Różnica tej liczby i utworzonej z niej po przestawieniu cyfr jest równa \(\displaystyle{ 45}\). Znajdź te liczbę.
19. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną większą od \(\displaystyle{ 200}\) oraz liczby \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+2}\) będą liczbami pierwszymi. Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ n+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).
20. Udowodnij, że liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\), niemniejsza niż \(\displaystyle{ 5}\), przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 6}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 5}\).
21. Udowodnij że kwadrat liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\), niemniejszej niż \(\displaystyle{ 5}\), przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 24}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\).
22. Znaleźć takie naturalne \(\displaystyle{ x, \ y}\), że:
a) \(\displaystyle{ \left( 2^{x^{2}} \right) \left( 3^y \right) = 12^x}\)
b) \(\displaystyle{ 18^{xy} = \left( 2^{x^{2}} \right) \left( 3^{4y} \right)}\)
23. Rozwiązać w liczbach całkowitych:
a) \(\displaystyle{ x + y = xy}\)
b) \(\displaystyle{ x \left( y^2 + 1 \right) = 48}\)
24. Znajdź wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których \(\displaystyle{ n^{4}+4}\) jest liczbą pierwszą.
25. Wykaż, że: \(\displaystyle{ 100|11^{10}-1}\).
26. Wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 2^{999}}\).
27. Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa \(\displaystyle{ 10}\). Jeżeli cyfrę dziesiątek tej liczby zmniejszymy o \(\displaystyle{ 1}\), a cyfrę jedności zmniejszymy o \(\displaystyle{ 4}\), to otrzymamy liczbę dwa razy mniejszą od liczby początkowej. Oblicz liczbę początkową.
28. Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ n}\) należy do \(\displaystyle{ N}\), to liczby postaci \(\displaystyle{ 3n+2003}\) nie są kwadratami liczb naturalnych.
29. Dane są liczby \(\displaystyle{ 1, \ 2, \ 3, \ \ldots , \ 200}\). Wybieramy dowolnie \(\displaystyle{ 101}\) liczb spośród nich. Udowodnij, że niezależnie od wyboru zawsze wśród wybranych znajdą się co najmniej dwie takie liczby, że jedna dzieli drugą.
30. Funkcja Eulera dla argumentu \(\displaystyle{ a}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 11424}\), \(\displaystyle{ a = p^{2}q^{2}}\), przy czym \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ q}\) są dwiema liczbami pierwszymi różnymi miedzy sobą. Znaleźć liczbę \(\displaystyle{ a}\).
31. Wykaż, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego, ostatnią cyfrą liczby będącej sumą pierwszych \(\displaystyle{ n}\) liczb naturalnych nie może być żadna z cyfr \(\displaystyle{ 2, \ 4, \ 7, \ 9}\).
32. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), zachodzą podzielności:
\(\displaystyle{ 11|2^{6n+1} +3^{2n+2}}\)
\(\displaystyle{ 25| 2^{n+2} \cdot 3^{n} + 5n - 4}\)
\(\displaystyle{ 2^{n+2}|3^{ \left( 2^{n} \right) } - 1}\)
33. Udowodnij, ze najmniejsza wspólna wielokrotność \(\displaystyle{ n}\) liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_{1} < a_{2} < a_{3} < \ldots < a_{n}}\) jest nie mniejsza od \(\displaystyle{ n \cdot a_{1}}\).
34. Wykaż, że zachodzą podzielności:
\(\displaystyle{ 5|3^{18} + 6^{17}}\)
\(\displaystyle{ 3|8^{9} - 4^{15} + 2^{32} + 16^{7}}\)
\(\displaystyle{ 19|6^{5} - 12^{3} - 24^{2}}\)
35. Wykaż przez indukcję, że:
\(\displaystyle{ 133|11^{n+1} + 12^{2n-1}}\)
36. Jeśli pewnej liczbie skreślimy ostatnią cyfrę, która jest równa \(\displaystyle{ 8}\), to liczba zmniejszy się o \(\displaystyle{ 1313}\). Jaka to liczba?
37. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) naturalnych liczba \(\displaystyle{ 3^{n}+7^{n}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\)?
38. Pewna liczba ma cztery dzielniki, których suma wynosi \(\displaystyle{ 176}\). Znajdź tę liczbę, jeżeli wiadomo, że suma jej cyfr wynosi \(\displaystyle{ 12}\).
39. Znaleźć resztę z dzielenia \(\displaystyle{ 321^{123} - 546^{154}}\) przez \(\displaystyle{ 6}\).
40. Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczby:
\(\displaystyle{ 38 \left( 199^{991} - 51^{149} \right)}\)
41. Udowodnij, że jeżeli suma wszystkich dzielników pewnej liczby naturalnej jest dwa razy większa od tej liczby, to suma odwrotności tych dzielników wynosi \(\displaystyle{ 2}\).
Ukończony. Ostatnia aktualizacja - 25.03.2005r
Dodany \(\displaystyle{ \LaTeX}\) i poprawione literówki. Ostatnia aktualizacja - 13.01.2013r Ponewor
