Zadanie z dowodem na sumę liczb naturalnych
Zadanie z dowodem na sumę liczb naturalnych
Zad.1) Wykaż, że ostatnią cyfrą liczby będącej sumą kolejnych liczb naturalnych nie może być żadna z cyfr 2, 4, 7, 9.
-
TomciO
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 16 paź 2004, o 23:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 38 razy
Zadanie z dowodem na sumę liczb naturalnych
Po prostu napisz sumy 1+2, 3+4, ... , 9+0, 0+1 i pokaz, ze zadna z nich nie konczy sie na jedna z tych cyfr.
-
Arek
- Użytkownik
- Posty: 1565
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 13 razy
Zadanie z dowodem na sumę liczb naturalnych
Mi się wydaje, że suma kolejnych liczba naturalnych to np.:
1+2+3+4+5...
Jak wiadomo, suma pierwszych n liczb naturalnych to n(n+1)/2 (sprawdź np. 1+2+3+4+5 = 5*6/2)
Skoro ma być, że n(n+1)/2 nie ma końcówki 2, 4, 7, 9, to liczba n(n+1) ma nie mieć końcówki 4 lub 8. No to sprawdzamy, załóżmy, że n ma końcówkę 0, zatem n+1 ma 1 - stąd ich iloczyn ma końcówkę 1. I dalej jak w zestawieniu trzech rzędów końcówek:
końcówka n, końcówka n+1, koncówka iloczynu
0 1 1
1 2 2
2 3 6
3 4 2
4 5 0
5 6 0
6 7 2
7 8 6
8 9 2
9 0 0
Oczywiście żadna z podanych końcówek nie jest równa 4 czy 8.
Zaawansowani zauważą szybsze rozwiązanie z kongruencji, ale ten sposób jest widoczny dla każdego...
1+2+3+4+5...
Jak wiadomo, suma pierwszych n liczb naturalnych to n(n+1)/2 (sprawdź np. 1+2+3+4+5 = 5*6/2)
Skoro ma być, że n(n+1)/2 nie ma końcówki 2, 4, 7, 9, to liczba n(n+1) ma nie mieć końcówki 4 lub 8. No to sprawdzamy, załóżmy, że n ma końcówkę 0, zatem n+1 ma 1 - stąd ich iloczyn ma końcówkę 1. I dalej jak w zestawieniu trzech rzędów końcówek:
końcówka n, końcówka n+1, koncówka iloczynu
0 1 1
1 2 2
2 3 6
3 4 2
4 5 0
5 6 0
6 7 2
7 8 6
8 9 2
9 0 0
Oczywiście żadna z podanych końcówek nie jest równa 4 czy 8.
Zaawansowani zauważą szybsze rozwiązanie z kongruencji, ale ten sposób jest widoczny dla każdego...