Matematyka.pl

c\ln\frac{a+b+c}{c}+a\ln\frac{a+b+c}{a}+b\ln\frac{a+b+c}{b}=\\(a+b+c)\ln (a+b+c)-(a\ln a+b\ln b+c\ln c) Z TEGO zadania wiadomo, że: a\ln a+b\ln b+c\ln c\ge (a+b+c)\ln\frac{a+b+c}{3}=(a+b+c)\ln (a+b+c)-(a+b+c)\ln 3 Czyli: (a+b+c)\ln (a+b+c)-(a\ln a+b\ln b+c\ln c)\le\\ (a+b+c)\ln (a+b+c)-\left[(a+b+c...

W tablicach masz wzory... ??:

\(\displaystyle{ x\ln y=\ln y^x}\)
\(\displaystyle{ \ln x+\ln y=\ln (xy)}\)

EDIT:
Można też elementarnie, (darn nie zauważyłam tych naturalnych ).

Z GM-HM (jest \(\displaystyle{ a}\) liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczb \(\displaystyle{ b}\)): \(\displaystyle{ a^ab^b\ge\left(\frac{a+b}{a\cdot\frac{1}{a}+b\cdot\frac{1}{b}}\right)^{a+b}}\)

Z AM-GM jest: \(\displaystyle{ \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{a+b+c}\ge \left(\sqrt[3]{abc}\right)^{a+b+c}}\)

Reszta jest TUTAJ (dalej również GM-HM).

Elementarnie to w ogóle nie wiem, jak się do tego zabrać...

Z nier. Jensena dla \(\displaystyle{ f(x)=x\ln x}\) (treningowo trzeba sprawdzić, że jest wypukła w \(\displaystyle{ x\in (0,+\infty)}\)):

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a\ln a+\frac{1}{2}b\ln b\ge\frac{a+b}{2}\ln\frac{a+b}{2}}\)

To od razu daje żądaną nierówność.

Wszystkie można zrobić przez homogenizację. W pierwszej prawą stronę mnożysz przez (a+b)^2 , później obie strony przez 2 , rozwijasz, upraszczasz i masz (a-b)^2\ge 0 . W drugiej prawą stronę mnożysz przez (a+b)^3 , później obie strony przez 4 , rozwijasz, upraszczasz i masz a^2\cdot a+b^2\cdot b\ge ...

\(\displaystyle{ x=1}\) też spełnia

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n\\a_{n+2}-a_{n+1}=-\frac{1}{2}\cdot ft(-\frac{1}{2}\right)^n}\)

\(\displaystyle{ a_{n+2}-a_n=\frac{1}{2}\cdot (a_{n+1}-a_n)}\)

Dalej równanie charakterystyczne itd.

\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}\)

\(\displaystyle{ a_n-\frac{1}{n}=a_{n-1}-\frac{1}{n-1}=...=a_2-\frac{1}{2}=a_1-1=1}\)

Albo zaburz sumę \(\displaystyle{ k^2}\).

\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{n}k^2=n^2+\sum\limits_{k=1}^{n}(k-1)^2=n^2+\sum\limits_{k=1}^{n}(k^2-2k+1)=n^2+\sum\limits_{k=1}^{n}k^2-2\sum\limits_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1}\)

Nie ja sama - skorzystałam z pomocy. Jest tak: oczywiście b\ge a , więc 10^b-1=10^a\left(10^{b-a}-1\right)+\left(10^a-1\right) i ponieważ 10^a-1\not{|}10^a , to rozpisujemy dalej, tzn. 10^{b-a}-1=10^a\left(10^{b-2a}-1\right)+\left(10^a-1\right) itd., aż do b-ka\le a , jednak z założenia 10^a-1|10^{b...

Cześć, będę bardzo wdzięczna za pomoc w wykazaniu implikacji:

\(\displaystyle{ \(10^a-1\)\|\(10^b-1\)\ \Longrightarrow\ a|b}\)

Jeśli komuś nie chce się zamieszczać pełnego wyprowadzenia, to (duża ) podpowiedź będzie również mile widziana. Dzięki z góry.

EDIT: Już nieaktualne.