Cześć, będę bardzo wdzięczna za pomoc w wykazaniu implikacji:
\(\displaystyle{ \(10^a-1\)\|\(10^b-1\)\ \Longrightarrow\ a|b}\)
Jeśli komuś nie chce się zamieszczać pełnego wyprowadzenia, to (duża ) podpowiedź będzie również mile widziana. Dzięki z góry.
EDIT: Już nieaktualne.
dowód podzielności
- Calasilyar
- Użytkownik
- Posty: 2656
- Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 410 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1668
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
dowód podzielności
Nie ja sama - skorzystałam z pomocy.
Jest tak: oczywiście \(\displaystyle{ b\ge a}\), więc \(\displaystyle{ 10^b-1=10^a\left(10^{b-a}-1\right)+\left(10^a-1\right)}\) i ponieważ \(\displaystyle{ 10^a-1\not{|}10^a}\), to rozpisujemy dalej, tzn. \(\displaystyle{ 10^{b-a}-1=10^a\left(10^{b-2a}-1\right)+\left(10^a-1\right)}\) itd., aż do \(\displaystyle{ b-ka\le a}\), jednak z założenia \(\displaystyle{ 10^a-1|10^{b-ka}-1}\), więc musi być \(\displaystyle{ b-ka=a\ \Rightarrow\ a|b}\).
Wychodzi na to, że implikację w prawo można tu zamienić na równoważność, a liczbę \(\displaystyle{ 10}\) - na dowolną liczbę \(\displaystyle{ n>1}\).
EDIT: Poprawiam formuły popsute po przenosinach forum.
Jest tak: oczywiście \(\displaystyle{ b\ge a}\), więc \(\displaystyle{ 10^b-1=10^a\left(10^{b-a}-1\right)+\left(10^a-1\right)}\) i ponieważ \(\displaystyle{ 10^a-1\not{|}10^a}\), to rozpisujemy dalej, tzn. \(\displaystyle{ 10^{b-a}-1=10^a\left(10^{b-2a}-1\right)+\left(10^a-1\right)}\) itd., aż do \(\displaystyle{ b-ka\le a}\), jednak z założenia \(\displaystyle{ 10^a-1|10^{b-ka}-1}\), więc musi być \(\displaystyle{ b-ka=a\ \Rightarrow\ a|b}\).
Wychodzi na to, że implikację w prawo można tu zamienić na równoważność, a liczbę \(\displaystyle{ 10}\) - na dowolną liczbę \(\displaystyle{ n>1}\).
EDIT: Poprawiam formuły popsute po przenosinach forum.
Ostatnio zmieniony 16 cze 2009, o 19:00 przez bosa_Nike, łącznie zmieniany 1 raz.