Matematyka.pl

Udowodnij ze jezeli \(\displaystyle{ a,b \in\NN_{+}}\) , to :
\(\displaystyle{ a^{a} b^{b} \geqslant ( \frac{a+b}{2} )^{a+b}}\)

Elementarnie to w ogóle nie wiem, jak się do tego zabrać...

Z nier. Jensena dla \(\displaystyle{ f(x)=x\ln x}\) (treningowo trzeba sprawdzić, że jest wypukła w \(\displaystyle{ x\in (0,+\infty)}\)):

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a\ln a+\frac{1}{2}b\ln b\ge\frac{a+b}{2}\ln\frac{a+b}{2}}\)

To od razu daje żądaną nierówność.

Yyyyyyy
Nie rozumie .... ja to mam poprzekształcac zeby wyszlo elegancko nie bralem jeszcze logarytmow Ale dzieki za zainteresowanie

W tablicach masz wzory... ??:

\(\displaystyle{ x\ln y=\ln y^x}\)
\(\displaystyle{ \ln x+\ln y=\ln (xy)}\)

EDIT:
Można też elementarnie, (darn nie zauważyłam tych naturalnych ).

Z GM-HM (jest \(\displaystyle{ a}\) liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczb \(\displaystyle{ b}\)): \(\displaystyle{ a^ab^b\ge\left(\frac{a+b}{a\cdot\frac{1}{a}+b\cdot\frac{1}{b}}\right)^{a+b}}\)