Udowodnij ze jezeli \(\displaystyle{ a,b \in\NN_{+}}\) , to :
\(\displaystyle{ a^{a} b^{b} \geqslant ( \frac{a+b}{2} )^{a+b}}\)
Udowodnij, zeeli a,b eN zachodzi ...
-
- Użytkownik
- Posty: 1668
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Udowodnij, zeeli a,b eN zachodzi ...
Elementarnie to w ogóle nie wiem, jak się do tego zabrać...
Z nier. Jensena dla \(\displaystyle{ f(x)=x\ln x}\) (treningowo trzeba sprawdzić, że jest wypukła w \(\displaystyle{ x\in (0,+\infty)}\)):
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a\ln a+\frac{1}{2}b\ln b\ge\frac{a+b}{2}\ln\frac{a+b}{2}}\)
To od razu daje żądaną nierówność.
Z nier. Jensena dla \(\displaystyle{ f(x)=x\ln x}\) (treningowo trzeba sprawdzić, że jest wypukła w \(\displaystyle{ x\in (0,+\infty)}\)):
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a\ln a+\frac{1}{2}b\ln b\ge\frac{a+b}{2}\ln\frac{a+b}{2}}\)
To od razu daje żądaną nierówność.
- kolanko
- Użytkownik
- Posty: 1905
- Rejestracja: 9 gru 2006, o 14:23
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łańcut
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 172 razy
Udowodnij, zeeli a,b eN zachodzi ...
Yyyyyyy
Nie rozumie .... ja to mam poprzekształcac zeby wyszlo elegancko nie bralem jeszcze logarytmow Ale dzieki za zainteresowanie
Nie rozumie .... ja to mam poprzekształcac zeby wyszlo elegancko nie bralem jeszcze logarytmow Ale dzieki za zainteresowanie
-
- Użytkownik
- Posty: 1668
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Udowodnij, zeeli a,b eN zachodzi ...
W tablicach masz wzory... ??:
\(\displaystyle{ x\ln y=\ln y^x}\)
\(\displaystyle{ \ln x+\ln y=\ln (xy)}\)
EDIT:
Można też elementarnie, (darn nie zauważyłam tych naturalnych ).
Z GM-HM (jest \(\displaystyle{ a}\) liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczb \(\displaystyle{ b}\)): \(\displaystyle{ a^ab^b\ge\left(\frac{a+b}{a\cdot\frac{1}{a}+b\cdot\frac{1}{b}}\right)^{a+b}}\)
\(\displaystyle{ x\ln y=\ln y^x}\)
\(\displaystyle{ \ln x+\ln y=\ln (xy)}\)
EDIT:
Można też elementarnie, (darn nie zauważyłam tych naturalnych ).
Z GM-HM (jest \(\displaystyle{ a}\) liczb \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczb \(\displaystyle{ b}\)): \(\displaystyle{ a^ab^b\ge\left(\frac{a+b}{a\cdot\frac{1}{a}+b\cdot\frac{1}{b}}\right)^{a+b}}\)