Dowód indukcyjny szeregu

[Mabakay]

Witam, wiem jak udowodnić indukcyjnie wzór na szereg, równość jednego szeregu drugiemu, ale nie mogę rozgryźć co zrobić w takiej sytuacji, gdy potęgujemy cały szereg:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^{3} = (\sum_{k=1}^{n}k)^{2}}\)

[max]

\(\displaystyle{ \sum\limits_{k = 1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}}\)

dalsza część nie powinna sprawić problemów

[Mabakay]

\(\displaystyle{ \sum\limits_{k = 1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}}\)

dalsza część nie powinna sprawić problemów

No tak, ale chyba będe musiał najpierw udowodnic indukcyjnie ten wzór, bo inaczej zero punktów pewni mi postawi, a czasu mało na sprawdzianie ??:

[max]

hmm, ten ostatni wzór możesz udowodnić też nieindukcyjnie...
\(\displaystyle{ 1 + 2 + 3 +\ldots + n - 2 + n - 1 + n =\\
\tfrac{1}{2}\cdot 2(1 + 2 + 3 +\ldots + n - 2 + n - 1 + n) =\\
\tfrac{1}{2}(1 + 2 + 3 +\ldots + n - 2 + n - 1 + n + 1 + 2 + 3 +\ldots+ n - 2 + n - 1 + n) = \\
\tfrac{1}{2}(1 + n + 2 + n - 1 + 3 + n - 2 + \ldots + n - 2 + 3 + n - 1 + 2 + n + 1) = \\
\tfrac{1}{2}(\underbrace{(1 + n) + (1 + n) + (1 + n) + \ldots + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1)}_{n \ \textrm{liczb}}) = \frac{n(n + 1)}{2}}\)

[bosa_Nike]

Albo zaburz sumę \(\displaystyle{ k^2}\).

\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=1}^{n}k^2=n^2+\sum\limits_{k=1}^{n}(k-1)^2=n^2+\sum\limits_{k=1}^{n}(k^2-2k+1)=n^2+\sum\limits_{k=1}^{n}k^2-2\sum\limits_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1}\)