wyraz ogolny

[mart1na]

mam pytanie:
z wzoru rekurencyjnego \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}a_{1}=1\\a_{n+1}=a_{n}+(-\frac{1}{2})^{n}\end{array}}\)

jezeli \(\displaystyle{ a_{1}=1, a_{2}=\frac{1}{2}, a_{3}=\frac{3}{4}, a_{4}=\frac{5}{8}, a_{5}=\frac{11}{16}, a_{6}=\frac{21}{32}, a_7=\frac{43}{64}}\).
Mianownik bedzie \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) ale jaki ma byc licznik??

jezeli ktos wie, prosze o pomoc =)

[PFloyd]

chyba zle zostaly obliczone te poczatkowe wyrazy...
\(\displaystyle{ a_{2}=a_{1}+(-\frac{1}{2})^{2})=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}}\)

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n\\a_{n+2}-a_{n+1}=-\frac{1}{2}\cdot ft(-\frac{1}{2}\right)^n}\)

\(\displaystyle{ a_{n+2}-a_n=\frac{1}{2}\cdot (a_{n+1}-a_n)}\)

Dalej równanie charakterystyczne itd.

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \frac{2^{n+1}+(-1)^n}{3}}\)

[max]

\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n\\a_{n+2}-a_{n+1}=-\frac{1}{2}\cdot ft(-\frac{1}{2}\right)^n}\)

(...)

Dalej równanie charakterystyczne itd.

Korzystając z tych różnic można już elementarnie:
\(\displaystyle{ (a_{n} - a_{n - 1}) + (a_{n - 1} - a_{n - 2}) + \ldots + (a_{2} - a_{1}) = (-\tfrac{1}{2})^{n} + (-\tfrac{1}{2})^{n - 1} + \ldots + (-\tfrac{1}{2})^{2}\\
a_{n} - a_{1} = (-\tfrac{1}{2})^{n} + (-\tfrac{1}{2})^{n - 1} + \ldots + (-\tfrac{1}{2})^{2}\\
a_{n} = (-\tfrac{1}{2})^{n} + (-\tfrac{1}{2})^{n - 1} + \ldots + (-\tfrac{1}{2})^{2} + 1\\
a_{n} = \frac{1 - (-\tfrac{1}{2})^{n}}{1 - (-\tfrac{1}{2})} = \frac{2(1 + (-1)^{n}\cdot \tfrac{1}{2^{n}})}{3} = \frac{2^{n+1} + (-1)^{n}}{2^{n - 1}\cdot 3}}\)