Matematyka.pl

Udowodnij, jezeli \(\displaystyle{ a+b=1}\) , to :
\(\displaystyle{ a)}\)\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} qslant \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ b)}\)\(\displaystyle{ a^{3} + b^{3} qslant \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ c)}\)\(\displaystyle{ a^{4} + b^{4} qslant \frac{1}{8}}\)

Aha ...takim sposobem
Jestes pewien ze to jest jak najbardziej poprawne ?
Podejmie sie moze ktos jeszcze \(\displaystyle{ b )}\) i \(\displaystyle{ c )}\) ?

oznacz sobie a=1/2+t b=1/2-t
i teraz kwestia wymnozenia wszystkiego.

Wsio jeszcze mozna z nierówności między średnimi
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\frac{a^n+b^n}{2}}\geq \frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}}\)

A w piatek podobno nie robisz zadan pokazalem wlasnie to zadanie mojemu nauczycielowi od matmy i ze tak mozna zrobic to powiedzial ze nie mozna wyjsc od takiej nierownosci bo tam chyba mowil ze pierwsze trzeba ja udowodnic czy cos ;/ jakie jest wasze zdanie na ten temat ?

Wszystkie można zrobić przez homogenizację.
W pierwszej prawą stronę mnożysz przez \(\displaystyle{ (a+b)^2}\), później obie strony przez \(\displaystyle{ 2}\), rozwijasz, upraszczasz i masz \(\displaystyle{ (a-b)^2\ge 0}\).
W drugiej prawą stronę mnożysz przez \(\displaystyle{ (a+b)^3}\), później obie strony przez \(\displaystyle{ 4}\), rozwijasz, upraszczasz i masz \(\displaystyle{ a^2\cdot a+b^2\cdot b\ge a^2b+ab^2}\), co jest prawdą, bo ciągi \(\displaystyle{ a^2,\ b^2}\) i \(\displaystyle{ b,\ a}\) są przeciwnie uporządkowane albo inaczej \(\displaystyle{ (a-b)^2(a+b)\ge 0}\).
W trzeciej prawą stronę mnożysz przez \(\displaystyle{ (a+b)^4}\), później obie strony przez \(\displaystyle{ 8}\), rozwijasz, upraszczasz i masz \(\displaystyle{ 4a^3\cdot a+4b^3\cdot b+3a^4+3b^4\ge 4a^3b+4ab^3+3\cdot 2a^2b^2}\), co jest prawdą, bo ciągi \(\displaystyle{ a^3,\ b^3}\) i \(\displaystyle{ b,\ a}\) są przeciwnie uporządkowane albo inaczej \(\displaystyle{ 4(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ 3(a^2-b^2)^2\ge 0}\).

W tym do potegi 3 ...
mozna wyciagnac przed nawias a+b i skrocic ? ....

\(\displaystyle{ a^3 + b^3 -\frac{1}{4}= (a+b)^3 - (3a^2b + 3b^2a) -\frac{1}{4}=\frac{3}{4} -3ab(a+b) = \frac{3}{4} -3ab = \\
\frac{3}{4} -3b(1-b)=\frac{3}{4}(4b^2 - 4b+1) = \frac{3}{4}(2b-1)^2 q 0}\)

Widze ze sporo jest sposobow na takie zadania Jesli mozecie zobaczcie reszte moich zadan pozdrawiam