Matematyka.pl

Cześć, będę bardzo wdzięczna za pomoc w wykazaniu implikacji:

\(\displaystyle{ \(10^a-1\)\|\(10^b-1\)\ \Longrightarrow\ a|b}\)

Jeśli komuś nie chce się zamieszczać pełnego wyprowadzenia, to (duża ) podpowiedź będzie również mile widziana. Dzięki z góry.

EDIT: Już nieaktualne.

Napisz jak zrobiłaś - z małego Fermata?? ja tak próbowałem...

Nie ja sama - skorzystałam z pomocy.

Jest tak: oczywiście \(\displaystyle{ b\ge a}\), więc \(\displaystyle{ 10^b-1=10^a\left(10^{b-a}-1\right)+\left(10^a-1\right)}\) i ponieważ \(\displaystyle{ 10^a-1\not{|}10^a}\), to rozpisujemy dalej, tzn. \(\displaystyle{ 10^{b-a}-1=10^a\left(10^{b-2a}-1\right)+\left(10^a-1\right)}\) itd., aż do \(\displaystyle{ b-ka\le a}\), jednak z założenia \(\displaystyle{ 10^a-1|10^{b-ka}-1}\), więc musi być \(\displaystyle{ b-ka=a\ \Rightarrow\ a|b}\).
Wychodzi na to, że implikację w prawo można tu zamienić na równoważność, a liczbę \(\displaystyle{ 10}\) - na dowolną liczbę \(\displaystyle{ n>1}\).

EDIT: Poprawiam formuły popsute po przenosinach forum.

Z małego Fermata się nie da. Twierdzenie odwrotne do niego nie jest prawdziwe.