Udowodnij, ze jezeli \(\displaystyle{ a,b,c N_{+}}\), to :
\(\displaystyle{ (1 + \frac{a+b}{c})^{c} (1 + \frac{b+c}{a})^{a} (1 + \frac{c+a}{b})^{b} qslant 3^{a+b+c}}\)
Udowodnij ze jezeli a,b,c eN zachodzi ... [2]
-
bosa_Nike
- Użytkownik
- Posty: 1668
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 447 razy
Udowodnij ze jezeli a,b,c eN zachodzi ... [2]
\(\displaystyle{ c\ln\frac{a+b+c}{c}+a\ln\frac{a+b+c}{a}+b\ln\frac{a+b+c}{b}=\\(a+b+c)\ln (a+b+c)-(a\ln a+b\ln b+c\ln c)}\)
Z TEGO zadania wiadomo, że:
\(\displaystyle{ a\ln a+b\ln b+c\ln c\ge (a+b+c)\ln\frac{a+b+c}{3}=(a+b+c)\ln (a+b+c)-(a+b+c)\ln 3}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ (a+b+c)\ln (a+b+c)-(a\ln a+b\ln b+c\ln c)\le\\ (a+b+c)\ln (a+b+c)-\left[(a+b+c)\ln (a+b+c)-(a+b+c)\ln 3\right]=\\(a+b+c)\ln 3}\)
EDIT: Elementarnie - z AM-GM:
\(\displaystyle{ \left(\frac{a+b+c}{c}\right)^c\cdot\left(\frac{a+b+c}{a}\right)^a\cdot\left(\frac{a+b+c}{b}\right)^b\le\left(\frac{c\cdot\frac{a+b+c}{c}+a\cdot\frac{a+b+c}{a}+b\cdot\frac{a+b+c}{b}}{a+b+c}\right)^{a+b+c}}\)
Z TEGO zadania wiadomo, że:
\(\displaystyle{ a\ln a+b\ln b+c\ln c\ge (a+b+c)\ln\frac{a+b+c}{3}=(a+b+c)\ln (a+b+c)-(a+b+c)\ln 3}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ (a+b+c)\ln (a+b+c)-(a\ln a+b\ln b+c\ln c)\le\\ (a+b+c)\ln (a+b+c)-\left[(a+b+c)\ln (a+b+c)-(a+b+c)\ln 3\right]=\\(a+b+c)\ln 3}\)
EDIT: Elementarnie - z AM-GM:
\(\displaystyle{ \left(\frac{a+b+c}{c}\right)^c\cdot\left(\frac{a+b+c}{a}\right)^a\cdot\left(\frac{a+b+c}{b}\right)^b\le\left(\frac{c\cdot\frac{a+b+c}{c}+a\cdot\frac{a+b+c}{a}+b\cdot\frac{a+b+c}{b}}{a+b+c}\right)^{a+b+c}}\)