Matematyka.pl

coś w tym jest.

teraz zastanawiasz się w jakiej kolejności całkujesz. jeśli standardowo, czyli najpierw po y, potem po x, to całka będzie wyglądać tak: \(\displaystyle{ \iint\limits_\Delta y dydx}\),
gdzie: \(\displaystyle{ \Delta: ? \le x \le ?, ? \le y \le ?}\). co więc wstawiasz za "?"?

1. \left\{\begin{array}{l} x=-\frac{1}{2\lambda} \\
y=-\frac{1}{\lambda}\\
x ^{2} +y ^{2}=5 \end{array}
x i y wstawiasz do ostatniego i dostajesz \lambda_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}} i \lambda_{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}} . dla każdej lambdy wyliczasz punkt (x,y). dostajemy punkty: P_{1}=(-\frac{1}{\sqrt{2 ...

tu jest podobne zadanie, polecam obejrzeć metodę rozwiązywania za pomocą mnożników Lagrange'a:
https://matematyka.pl/post466430.htm?hilit=ekstrema%20warunkowe#p466430 .
łatwo zauważyć, że tutaj mamy do czynienia z funkcją:
F(x,y, \alpha )= x-2y+2z - \alpha(x^2+y^2+z^2-1) .

p.s. bo rozumiem, że ...

2-x=\sqrt{x}

na obrazku:


a granice całkowania wyznaczamy patrząc na pole, które nam te krzywe ograniczają, widac na rysnuku, ze niebieska prosta ogranicza nam (ten kawałek bliżej osi OY) od góry, a ta druga ( \sqrt{x} ) od dołu, x natomiast liczymy od zera (pionowa prosta ograniczająca podana ...

tylko tyle. to bardzo bardzo proste zadanie.

p.s.poza tym pojawiło się tutaj już rano.
https://matematyka.pl/133055.htm

agan., bardzo ładnie policzyłaś tę objętość, ale w zadaniu jest pytanie o pole.

nie liczymy tu żadnych granic, kolega Ci bardzo dobrze doradził: zrobić rysunek i odjąć pole mniejszego trójkąta od większego (oba leżą w drugiej ćwiartce). jednak jeśli koniecznie chcesz to wyrazić za pomocą całek, to wygląda to tak:

\int_{-5}^{-1} \int_{0}^{x+5} dy dx + \int_{-1}^{-0} \int_{x+1 ...

pięknie rozpisane. tego mi było potrzeba. ja powierzchnię stożkową przesunęłam o 8 w górę i nie miałam pojęcia jak to ma mi się niby przeciąć... głupia ja. całka żmudna, lecz nietrudna. jeszcze raz dziękuję.

cieszę się, że mogłam pomóc.

ja bym była wdzięczna za uzasadnienie tej różniczkowalności albo chociaż opisanie co trzeba po kolei zrobić, żeby to pokazać.

To w takim razie powinienem to przewidzieć i postawić wartość bezwzględną czy oba wyniki są poprawne?
jak to przewidzieć? mamy całkę Newtona-Leibniza i po prostu ją liczymy. wynik wychodzi dodatni.
np. \int_{-1}^{0} dxdy = 0 - (-1) = 1 , a nie -1.

Bo całka podwójna po obszarze normalnym to wcale ...

licząc całkę oznaczoną odejmujemy od jej wartości dla granicy górnej, wartość dla granicy dolnej, więc da całki pierwszej masz różnicę całki od zera do \(\displaystyle{ - 1}\). pojawia się wtedy minus przed całością, ponieważ w tym przypadku całka od zera wynosi zero. mam nadzieję, że w miarę jasno to wytłumaczyłam.

Tak, poprawiłam i dodałam wynik.

tak, możesz tak zrobić, jeśli jest Ci w ten sposób łatwiej. na rysunku z normalnie oznaczonymi osiami także powinieneś to zobaczyć. w każdym razie obie całki wyglądają tak:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{0} \int_{0}^{2x+2} (2xy+1)dydx = \int_{0}^{2} \int_{ \frac{1}{2}y-1}^{0} (2xy+1)dxdy= \frac{2}{3}}\)