Witam,
potrzebuje pomocy z następującym zadankiem
Zbadaj, czy dana funkcja \(\displaystyle{ u=x-2y+2z}\) ma ekstrema warunkowe przy warunku \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} + x^{2} = 1}\)
Z góry dzieki za pomoc
Pozdrawiam
Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych
-
studentin21
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 16 cze 2009, o 12:07
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
-
Qniczynka
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 16 cze 2009, o 12:47
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 7 razy
Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych
tu jest podobne zadanie, polecam obejrzeć metodę rozwiązywania za pomocą mnożników Lagrange'a:
https://matematyka.pl/post466430.htm?hil ... we#p466430.
łatwo zauważyć, że tutaj mamy do czynienia z funkcją:
\(\displaystyle{ F(x,y, \alpha )= x-2y+2z - \alpha(x^2+y^2+z^2-1)}\).
p.s. bo rozumiem, że pisząc warunek, netrunner zrobił błąd i na końcu miło być z^2.
-- 17 cze 2009, o 21:50 --
po policzeniu pochodnych cząstkowych i rozwiązaniu układu rownań dostajemy punkty:
\(\displaystyle{ P_{1}=(\frac{1}{3},\frac{-2}{3},\frac{2}{3},), \alpha=\frac{3}{2}}\)oraz\(\displaystyle{ P_{2}=(\frac{-1}{3},\frac{2}{3},\frac{-2}{3},)}\).
wyznacznik hesjanu (macierzy drugich pochodnych cząstkowych) wynosi \(\displaystyle{ -8 \alpha^3}\).
czyli w pierwszym punkcie ekstremum nie istnieje (ponieważ hesjan z podstawioną lambdą ma wyznacznik ujemny), a w drugim jest minimum (wyznacznik większy od zera). pozostaje policzyć wartości w tych punktach dla funkcji u.
mam nadzieję, że trochę rozwiałam chmury.
https://matematyka.pl/post466430.htm?hil ... we#p466430.
łatwo zauważyć, że tutaj mamy do czynienia z funkcją:
\(\displaystyle{ F(x,y, \alpha )= x-2y+2z - \alpha(x^2+y^2+z^2-1)}\).
p.s. bo rozumiem, że pisząc warunek, netrunner zrobił błąd i na końcu miło być z^2.
-- 17 cze 2009, o 21:50 --
po policzeniu pochodnych cząstkowych i rozwiązaniu układu rownań dostajemy punkty:
\(\displaystyle{ P_{1}=(\frac{1}{3},\frac{-2}{3},\frac{2}{3},), \alpha=\frac{3}{2}}\)oraz\(\displaystyle{ P_{2}=(\frac{-1}{3},\frac{2}{3},\frac{-2}{3},)}\).
wyznacznik hesjanu (macierzy drugich pochodnych cząstkowych) wynosi \(\displaystyle{ -8 \alpha^3}\).
czyli w pierwszym punkcie ekstremum nie istnieje (ponieważ hesjan z podstawioną lambdą ma wyznacznik ujemny), a w drugim jest minimum (wyznacznik większy od zera). pozostaje policzyć wartości w tych punktach dla funkcji u.
mam nadzieję, że trochę rozwiałam chmury.