całka po obszarze (trójkącie?)

smola1987 · Post autor: **smola1987** » 8 cze 2009, o 16:09

Oblicz całke z funkcji f(x,y)=x-2y po obszarze ograniczonym krzywymi x=0, y=2-x, y= \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\)

Takie o to zadanko..najwiekszy problem dla mnie to te proste, nie wiem jak z nimi postepowac, co z nimi zrobic. wiem ze trzeba punkty wyznaczyc zeby calke zrobic. moglby ktos mnie naprowadzic chociaz?

lenkaja · Post autor: **lenkaja** » 8 cze 2009, o 16:30

Musisz znalesc punkte przeciecia funkcji -x+2 i \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\) Jest to punkt (1,1).
Zatem calka bedzie wygladac nastepujaco:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} dx \int_{ \sqrt{x} }^{-x+2} (x-2y)dy}\)

smola1987 · Post autor: **smola1987** » 8 cze 2009, o 17:41

Jak otrzymac te punkty? kombinuje zeby Y przyrownac do siebie, pozniej do zera ale cos mi nie wychodzi. Skoro punkt wychodzi (1,1) to dlaczego tam jest całka od 0 do 1? Jak to sie oznacza?
Dzieki za cierpliwosc, bo matma to nie jest moje hobby
a wyszlo mi -11/15...ale to chyba nie bardzo.

Qniczynka · Post autor: **Qniczynka** » 17 cze 2009, o 21:14

\(\displaystyle{ 2-x=\sqrt{x}}\)

na obrazku:

a granice całkowania wyznaczamy patrząc na pole, które nam te krzywe ograniczają, widac na rysnuku, ze niebieska prosta ogranicza nam (ten kawałek bliżej osi OY) od góry, a ta druga (\(\displaystyle{ \sqrt{x}}\)) od dołu, x natomiast liczymy od zera (pionowa prosta ograniczająca podana w zadaniu \(\displaystyle{ x=0}\)) do miejsca przecięcia z drugą prostą.
\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1 \\
\sqrt{x} \le y \le 2-x}\)