Całka podwójna-zamiana granic całkowania.

[tomek__]

obliczyć \(\displaystyle{ \int_{}^{} \int_{}^{} (2xy+1)dxdy}\) po obszarze \(\displaystyle{ D: x=0; y=0; 2x-y+2=0}\)


nie umiem zmieniać kolejności całkowania, zatem czy mogę narysować układ współrzędnych, gdzie oś OY nazwę OX i OX nazwę OY, narysuję obszar D i będę liczył "typowo", z tym że będą odwrócone osie? czy wyjdzie mi to samo?
na 100% będę to miał na jutrzejszym egzaminie

-- 17 czerwca 2009, 15:58 --

tak w ogóle prosiłbym kogoś biegłego o poprawny wynik z tego, a ja policzę to "moim sposobem" i sprawdzimy czy to to samo;

[Qniczynka]

tak, możesz tak zrobić, jeśli jest Ci w ten sposób łatwiej. na rysunku z normalnie oznaczonymi osiami także powinieneś to zobaczyć. w każdym razie obie całki wyglądają tak:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{0} \int_{0}^{2x+2} (2xy+1)dydx = \int_{0}^{2} \int_{ \frac{1}{2}y-1}^{0} (2xy+1)dxdy= \frac{2}{3}}\)

[tomek__]

a tam nie będzie czasem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}y -1}\) ? -- 17 czerwca 2009, 16:06 --dzięki

[Qniczynka]

Tak, poprawiłam i dodałam wynik.

[tomek__]

Wyszło mi \(\displaystyle{ -\frac{2}{3}}\)

co może być tego przyczyną?

[Qniczynka]

licząc całkę oznaczoną odejmujemy od jej wartości dla granicy górnej, wartość dla granicy dolnej, więc da całki pierwszej masz różnicę całki od zera do \(\displaystyle{ - 1}\). pojawia się wtedy minus przed całością, ponieważ w tym przypadku całka od zera wynosi zero. mam nadzieję, że w miarę jasno to wytłumaczyłam.

[tomek__]

To w takim razie powinienem to przewidzieć i postawić wartość bezwzględną czy oba wyniki są poprawne?
Bo całka podwójna po obszarze normalnym to wcale nie jest jego pole prawda?
Zastanawia mnie jeszcze jedna sprawa. Chcą policzyć pole obszaru D za pomocą całki podwójnej (takie zadania też mam na liście) liczy się tak samo jak całkę podwójną po tym obszarze, podczas gdy w tym zadaniu pole obszaru = 1
zatem chcąc policzyć pole obszaru utworzonego poprzez te krzywe za pomocą całki podwójnej jak to zrobić?

[Qniczynka]

To w takim razie powinienem to przewidzieć i postawić wartość bezwzględną czy oba wyniki są poprawne?

jak to przewidzieć? mamy całkę Newtona-Leibniza i po prostu ją liczymy. wynik wychodzi dodatni.
np. \(\displaystyle{ \int_{-1}^{0} dxdy = 0 - (-1) = 1}\), a nie -1.

Bo całka podwójna po obszarze normalnym to wcale nie jest jego pole prawda?

wszystko zależy od tego z czego jest ta całka.

Zastanawia mnie jeszcze jedna sprawa. Chcą policzyć pole obszaru D za pomocą całki podwójnej (takie zadania też mam na liście) liczy się tak samo jak całkę podwójną po tym obszarze, podczas gdy w tym zadaniu pole obszaru = 1
zatem chcąc policzyć pole obszaru utworzonego poprzez te krzywe za pomocą całki podwójnej jak to zrobić?

otóż nie liczy się tak samo. pole obszaru, to całka podwójna z jedynki. czyli w naszym przypadku:

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{0} \int_{0}^{2x+2} dydx = \int_{0}^{2} \int_{ \frac{1}{2}y-1}^{0} dxdy= 1}\)

[tomek__]

otóż nie liczy się tak samo. pole obszaru, to całka podwójna z jedynki

tym zdaniem rozświetliłaś mi to wszystko, dzięki :*

[Qniczynka]

cieszę się, że mogłam pomóc.