potrójna całka. objętość.

[Qniczynka]

Oblicz całkę \(\displaystyle{ \iiint_{V} x^2 dx dy dz}\) , gdzie \(\displaystyle{ V:= \{ (x,y,z) \in \mathbbR^3: x^2 + \frac{y^2}{4} + z^2 \le 4z \wedge 2z \ge 8 - \sqrt{4x^2+y^2} \}}\).

[BettyBoo]

Ta pierwsza powierzchnia ograniczająca to elipsoida (przesunięta na osi OZ o 2 w górę) - a nierówność oznacza, że chodzi o jej wnętrze - a ta druga to część stożka eliptycznego (też przesunięta na OZ, tylko o 4 w górę i jest to ta część, która jest "skierowana" w dół) - a nierówność oznacza, że chodzi o część przestrzeni, która leży "wewnątrz" tej polowy stożka.

Najpierw szukasz krzywej, która jest częścią wspólną (a która, jak się łatwo domyśleć, będzie elipsą) - najłatwiej będzie z równań obu powierzchni ograniczających wyznaczyć \(\displaystyle{ 4x^2+y^2}\) i porównać. Otrzymujesz

\(\displaystyle{ 4(4z-z^2)=(2z-8)^2=4(z-4)^2\ \Rightarrow \ (z-4)(z-4+z)=0 \ \Rightarrow \ z=4,\ z=2}\)

przy czym dla z=4 mamy dokładnie jeden punkt wspólny, a podstawiając np do pierwszego równania z=2 mamy

\(\displaystyle{ \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{4^2}=1,\ z=2}\)

Czyli jest to elipsa o osiach długości 2 i 4 leżąca na "wysokości" z=2. Jak się wobec tego zrzutuje całą bryłę na płaszczyznę XOY to otrzyma się obszar D, który jest wnętrzem tej elipsy (razem z brzegiem).

Ponieważ stożek ogranicza całość od góry, a elipsoida od dołu. Zauważ, że płaszczyzna z=2 zawiera "środek" tej elipsody, a więc powierzchnią ograniczającą jest jej "dolna" część - której równanie się wyznacza y równania elipsoidy:

\(\displaystyle{ x^2+\frac{y^2}{4}+(z-2)^2=4\ \Rightarrow \ z-2=-\sqrt{4-x^2-\frac{y^2}{4}}\ \Rightarrow \ z=2-\sqrt{4-x^2-\frac{y^2}{4}}}\)

Zatem mamy

\(\displaystyle{ \iiint_{V} x^2 dx dy dz=\iint_D\int_{2-\sqrt{4-x^2-\frac{y^2}{4}}}^{4-\sqrt{x^2+\frac{y^2}{4}}}x^2dxdydz=}\)


\(\displaystyle{ =\iint_D (4-\sqrt{x^2+\frac{y^2}{4}}-2+\sqrt{4-x^2-\frac{y^2}{4}})x^2dxdy}\)

Dla obliczenia tej całki robi sie podstawienie eliptyczne (my mamy tutaj przypadek 2-wymiarowy, czyli elipsę, ale tej nazwy używa się także (a może nawet głównie) w przypadku 3-wymiarowym, czyli w przypadku elipsoidy)

Ponieważ chodzi o łatwą parametryzację elipsy \(\displaystyle{ \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{4^2}\le 1}\), to podstawienie, które to ułatwi ma postać

\(\displaystyle{ x=2rcost,\ y=4rsint,\ J=2\cdot 4\cdot r}\)

Ponieważ to pełna elipsa, to zakres dla kąta i dla promienia jest maksymalny, a więc to jest

\(\displaystyle{ \Delta:\quad 0\le r\le 1,\ 0\le t\le 2\pi}\)

i ostatecznie całka ma postać

\(\displaystyle{ =\iint_\Delta (4-2r-2+\sqrt{4-4r^2})(2rcost)^2\cdot 8rdrdt}\)

a to już łatwa całka do obliczenia, więc mam nadzieję, że sobie z nia poradzisz (oczywiście dla obliczenia całki po r podstawia się za to, co pod pierwiastkiem.)

Pozdrawiam.

Edit: poprawiłam błąd w ostatecznej całce (tam nie ma być r, tylko jego wielokrotność, bo tak zdefiniowałam wcześniej podstawienie, o czym potem raczyłam zapomnieć )

[Qniczynka]

pięknie rozpisane. tego mi było potrzeba. ja powierzchnię stożkową przesunęłam o 8 w górę i nie miałam pojęcia jak to ma mi się niby przeciąć... głupia ja. całka żmudna, lecz nietrudna. jeszcze raz dziękuję.