całka podwójna po trójkątnym obszarze

tomekm89 · Post autor: **tomekm89** » 17 cze 2009, o 21:56

Oblicz całkę \(\displaystyle{ \iint\limits_D y dxdy}\) po trójkątnym obszarze D, którego wierzchołkami są punkty A=(0,0), B=(0,1), C=(1,1)

Post autor: **M Ciesielski** » 17 cze 2009, o 22:08

wyznacz wzory funkcji, ktorych wykresy zawierają boki tego trójkąta i opisz w ten sposób obszar normlany a następnie podstaw do wzoru na calke iterowaną w razie problemów, pisz. Jeśli nie potrafisz opisać obszaru normalnego to przynajmniej wyznacz równania tych prostych, dalej pomożemy.

Pozdrawiam.

tomekm89 · Post autor: **tomekm89** » 17 cze 2009, o 23:19

te proste będą takie:
y = x
y = 1
x = 0

i co dalej ?

Qniczynka · Post autor: **Qniczynka** » 17 cze 2009, o 23:39

teraz zastanawiasz się w jakiej kolejności całkujesz. jeśli standardowo, czyli najpierw po y, potem po x, to całka będzie wyglądać tak: \(\displaystyle{ \iint\limits_\Delta y dydx}\),
gdzie: \(\displaystyle{ \Delta: ? \le x \le ?, ? \le y \le ?}\). co więc wstawiasz za "?"?

tomekm89 · Post autor: **tomekm89** » 17 cze 2009, o 23:55

\(\displaystyle{ 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1}\)?

Post autor: **M Ciesielski** » 18 cze 2009, o 08:03

obszar normalny względem osi x to jest opisany w taki sposób, że x znajduje sie między jakimis stalymi, zaś y między funkcjami iksa, zatem patrząc od lewej do prawej na osi x, obszar zaczyna się dla x=0 i konczy dla x=1, zaś y patrząc od dołu ograniczony jest przez prostą y=x oraz y=1 zatem obszar będzie wyglądał tak:

\(\displaystyle{ D:\begin{cases} 0 \le x \le 1 \\ x \le y \le 1 \end{cases}}\)

a teraz wystarczy podstawić do wzoru na calkę interowaną.