całka potrójna

[Qniczynka]

Oblicz objętość figury ograniczonej powierzchniami \(\displaystyle{ z =1-x^2-y^2}\) i \(\displaystyle{ x^2+y^2+(z-1)^2=1}\).

moje rozw.:
wstawiam współrzędne sferyczne (geograficzne), wówczas:
\(\displaystyle{ |J|=r^2cos\psi}\),
\(\displaystyle{ 1=x^2+y^2+(z-1)^2=r^2+(sin\psi - 1 )^2}\)
\(\displaystyle{ 1-z=x^2+y^2 \Rightarrow 1-sin\psi=r^2 \Rightarrow \sqrt{1-sin\psi}=|r|}\)

\(\displaystyle{ 1/2 V = \int\limits_{0}^{2\Pi}\int\limits_{-\Pi/2}^{\Pi/2} \int\limits_{0}^{\sqrt{1-sin\psi}} [r^2+(sin\psi-1)^2][r^2cos\psi] dr d\psi d\phi}\)

Wydaje mi się, że to trochę skomplikowana całka. teraz pytanie: czy ten sposób jest dobry, jesli tak to jaki jest lepszy? a jeśli nie, to jak w ogóle powinnam to ugryźć?

[bedbet]

Po co liczysz całkę z funkcji \(\displaystyle{ r^2+(\sin\psi-1)^2}\)?

[Qniczynka]

bo liczę objętość, czyli potrójną całkę z 1.
tak sobie teraz myślę, że może powinnam liczyć całkę z \(\displaystyle{ (1-r^2)(r^2cos\psi)}\)...
ale wtedy obszarem byłaby sfera i zmieniłaby się granica dla r, bo \(\displaystyle{ r^2=sin\psi(2-sin\psi)}\) po podstawieniu wsp. sferycznych do sfery.
nadal nie wiem jaka droga jest dobra...

[bedbet]

Po prostu liczysz z jedynki całkę i nic już nie wstawiasz za tę jedynkę.

[Qniczynka]

znalazłam też drugi błąd. mianowicie zamiast zwykłych sferycznych wstawiamy sferyczne z \(\displaystyle{ z=rsin\psi +1}\) i wówczas zmieniają się granice całkowania dla r:
\(\displaystyle{ 1-z=x^2+y^2}\)
\(\displaystyle{ 1-rsin\psi -1=r^2cos^2\psi}\)
\(\displaystyle{ r=- \frac{sin \psi}{cos^2 \psi}}\)
jakim cudem promień wyszedł ujemny???


\(\displaystyle{ 1/2 V = \int\limits_{0}^{2\Pi}\int\limits_{-\Pi/2}^{\Pi/2} \int\limits_{?}^{?}} r^2cos\psi dr d\psi d\phi = ?}\), czyli \(\displaystyle{ V = ?}\)

p.s. w pierwszym zadaniu całka jest zła, ponieważ sfera wg niej jest w środku układu.-- 17 cze 2009, o 13:34 --proszę, niech ktoś pomoże...

[bedbet]

Ja bym tak dla odmiany wprowadził współrzędne biegunowe otrzymując całkę:

\(\displaystyle{ V=\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}}rdr\int\limits_{-\sqrt{1-r^2}+1}^{1-r^2}dh}\)

[Qniczynka]

coś w tym jest.