Matematyka.pl

Mam takie zadanie: uzasadnij, że ciągłe rozwiązanie równania Ito jest procesem Markowa.
Proces Markowa to rozumiem, kolejny element zależy tylko od wartości poprzedzającego. Nie rozumiem tylko jak to pokazać. Mogę Was prosić o jakieś wskazówki jak się za to zabrać?

Niech \left\{ e_k \right\} _{k \ge 1} będzie nieskończonym układem ortonormalnym w przestrzeni Hilberta X . Przyjmijmy
A(x) = \sum_{k=1}^{ \infty } \left\langle x, e_{k+1}\right\rangle e_k, x \in X .
Sprawdzić, że:
(1) A jest dobrze określonym operatorem liniowym ograniczonym w przestrzeni X ,
(2 ...

Dzięki, widzę mniej-więcej skąd się bierze proces, ale kwadraty w pierwszym składniku jak znikają?

Wiedząc, że:
dS_t=S_t(\mu dt + \sigma dW_t)
M_t=\exp \{ -\frac{1}{2} \frac{\mu^2}{\sigma^2}t - \frac{\mu}{\sigma}W_t \}
Z_t=M_t S_t
oblicz dZ_t .

Po policzeniu pochodnych cząstkowych 1. i 2. rzędu z F(t,m,s)=ms i użyciu wzoru Ito dochodzę do postaci:
dZ_t=S_t dM_t + M_t dS_t + \frac{1}{2 ...

Zadanie:
Niech Y oznacza rentę terminową, czyli \ddot{a}_{x:\overline{n}|}=EY . Udowodnić, że:
\var Y = \frac{M(-2\delta)-(M(-\delta))^2}{d^2} ,
gdzie M(u)=Ee^{u((K+1)\wedge n)} jet funkcją momentów zmiennej losowej \min(K+1,n) .

Zapisałem sobie Y jako ciąg płatności:
Y=\sum_{k=0}^{\alpha}v^k=1+v ...

Pokazać, że ciąg f_n(x)=\begin{cases} x^n \quad x \in [0,1) \\ 1 \quad x \in [1,2]\end{cases} nie ma granicy w normie całkowej.

Granicę punktową liczę standardowo i otrzymuję \lim_{n \to \infty} f_n(x_0)=\begin{cases} \lim_{n \to \infty} x_0^n = 0 \quad x \in [0,1) \\ 1 \quad x \in [1,2] \end{cases ...

Funkcji hiperbolicznych za bardzo nie ogarniam, więc raczej zostanę przy Eulerze. Dzięki za pomoc.

Jaka jest możliwie najprostsza i najmniej czasochłonna metoda scałkowania funkcji \(\displaystyle{ \int \sqrt{\left(x+ \frac{1}{8}\right)^2 - \left( \frac{1}{8} \right)^2 } \mbox{d}x}\) ?

No tak, nawet na to nie zwróciłem uwagi. Prowadzący ćwiczenia kazał nam zrobić jako pracę domową po 2 równania o rozdzielonych zmiennych i jednorodne (miał na myśli zapewne te z zamianą zmiennych), więc otworzyłem Krysickiego, równania liniowe jednorodne i kombinuję Muszę w takim razie poszukać ...

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = y \cdot (x \cdot \sin x - \cos x )}\)
Jakie nowe zmienne najlepiej podstawić? Próbowałem \(\displaystyle{ y \cdot \sin x = u}\), ale przy wyznaczaniu \(\displaystyle{ y'}\) sinus mi psuje podstawianie tego do równania.

Dzięki, właściwie to właśnie wpadłem na to, że chyba jednak nie trzeba się w to bawić, bo \(\displaystyle{ C_{1}}\) i \(\displaystyle{ C_{2}}\) to stałe z całki nieoznaczonej, więc "wchłoną" te minusy i na końcu i tak się połączą w jedną stałą

\(\displaystyle{ \ln\left| C_{1} \cdot (y-1) \right| = ln\left| \frac{ C_{2} \cdot x }{x+1} \right|}\)
Pytanie zapewne banalne, ale wolę się upewnić.
Chcę wyznaczyć y, opuszczam logarytm obustronnie, to potem przy opuszczaniu modułów muszę rozważyć przypadki w zależności od znaków obu wyrażeń, prawda?

Dzięki, prostsze niż myślałem (a właściwie to nie myślałem ).

Rozwiąż równanie:
y - \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } \cdot x = 1 + x^2 \cdot \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }
Po rozdzieleniu zmiennych otrzymuję postać \frac{y - 1}{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } } = x^2 + x
Dotychczas w takich równaniach otrzymywałem zawsze y' w liczniku i wtedy całka ...

U mnie na wykładzie wzór Taylora był wprowadzony z wykorzystaniem różniczki funkcji i nie jest dzięki temu trudny do zapisania, nie do końca rozumiem tylko pojęcie szeregu Taylora. Szereg to tak jakby wielomian Taylora stopnia nieskończonego bez reszty?