Całka Ito

[Alojzy Pompka]

Wiedząc, że:
\(\displaystyle{ dS_t=S_t(\mu dt + \sigma dW_t)}\)
\(\displaystyle{ M_t=\exp \{ -\frac{1}{2} \frac{\mu^2}{\sigma^2}t - \frac{\mu}{\sigma}W_t \}}\)
\(\displaystyle{ Z_t=M_t S_t}\)
oblicz \(\displaystyle{ dZ_t}\).

Po policzeniu pochodnych cząstkowych 1. i 2. rzędu z \(\displaystyle{ F(t,m,s)=ms}\) i użyciu wzoru Ito dochodzę do postaci:
\(\displaystyle{ dZ_t=S_t dM_t + M_t dS_t + \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot d[M,S]_t}\)
\(\displaystyle{ dS_t}\) znam, czy \(\displaystyle{ dM_t = \exp \{ -\frac{1}{2} \frac{\mu^2}{\sigma^2}t - \frac{\mu}{\sigma}W_t \} \cdot (-\frac{1}{2} \frac{\mu^2}{\sigma^2} - \frac{\mu}{\sigma}dW_t )}\)? Czy inaczej? W jaki sposób wyliczyć \(\displaystyle{ d[M,S]_t}\)?

[tomwanderer]

Zdaje się, że \(\displaystyle{ dM_t}\) trzeba policzyć ze wzoru Ito dla funkcji \(\displaystyle{ F(t,x)=e^x}\) oraz procesu \(\displaystyle{ X_t= \int_{0}^{t}-\frac{1}{2}\frac{\mu^2}{\sigma^2} \mbox{d}s + \int_{0}^{t} -\frac{\mu}{\sigma} \mbox{d}W_s}\).
Odnośnie \(\displaystyle{ \mbox{d}[M,S]_t}\) sam muszę znaleźć, bo nie jestem pewien.

[Alojzy Pompka]

Dzięki, widzę mniej-więcej skąd się bierze proces, ale kwadraty w pierwszym składniku jak znikają?

[tomwanderer]

Racja, poprawiam. No i dwójka w mianowniku. Przez pośpiech zrobiłem tak, jakbym całkował po \(\displaystyle{ \mbox{d}t}\) dla \(\displaystyle{ t=\frac{\mu}{\sigma}}\), a przecież \(\displaystyle{ \frac{\mu}{\sigma}}\) to stała.