Równanie różniczkowe jednorodne (Krysicki 9.7. i 8.57.)

[Alojzy Pompka]

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = y \cdot (x \cdot \sin x - \cos x )}\)
Jakie nowe zmienne najlepiej podstawić? Próbowałem \(\displaystyle{ y \cdot \sin x = u}\), ale przy wyznaczaniu \(\displaystyle{ y'}\) sinus mi psuje podstawianie tego do równania.

[yorgin]

A po co nowe zmienne, gdy masz równanie o zmiennych rozdzielonych?

Dodatkowo masz \(\displaystyle{ x\sin x-\cos x=(-x\cos x)'}\)

[Alojzy Pompka]

No tak, nawet na to nie zwróciłem uwagi. Prowadzący ćwiczenia kazał nam zrobić jako pracę domową po 2 równania o rozdzielonych zmiennych i jednorodne (miał na myśli zapewne te z zamianą zmiennych), więc otworzyłem Krysickiego, równania liniowe jednorodne i kombinuję Muszę w takim razie poszukać innego przykładu, bo rozdzielone zmienne już mam.
Tylko przy tej pochodnej to chyba minusy u Ciebie się nie zgadzają po lewej stronie.-- 24 paź 2013, o 19:47 --To drugie pytanie: wziąłem teraz równanie \(\displaystyle{ x-2y+9-(3x-6y+19) \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = 0}\), podstawiłem \(\displaystyle{ u=x+1, v=2y-8}\), co dało \(\displaystyle{ u-v-(3u-2v) \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = 0}\). Tu mam problem, bo po przekształceniach nie daje się "konwencjonalnie" rozdzielić zmiennych, więc spróbowałem scałkować takie wyrażenie: \(\displaystyle{ \int u \mbox{d}u - \frac{3}{2} \int u \mbox{d}v = \int v \mbox{d}u - \int v \mbox{d}v}\). Po kolejnych porządkach dostaję wyrażenie \(\displaystyle{ u^2-5uv+v^2=C}\). Czy to, co robię ma w ogóle sens i jak najprościej wyznaczyć \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) z tego?