Szereg Taylora funkcji dwóch zmiennych

[Alojzy Pompka]

Zapisać wyraz ogólny szeregu Taylora funkcji \(\displaystyle{ v(x,y)= \frac{e ^{2x}}{1-3y} , y \neq 3 ^{-1}}\), względem \(\displaystyle{ (0,0)}\).
Czym ogólnie różni się szereg Taylora dla funkcji wielu zmiennych od jednej zmiennej. Wszędzie tylko znajduję informację o funkcjach jednej zmiennej.

[Spektralny]

Wzór Taylora w przypadku wielowymiarowym jest dość trudny do zapisania. W dwóch wymiarach mamy:

\(\displaystyle{ T(\mathbf{x}) = f(\mathbf{a}) + \mathrm{D} f(\mathbf{a})^T (\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \frac{1}{2!} (\mathbf{x} - \mathbf{a})^T \,\big(\mathrm{D}^2 f(\mathbf{a})\big)\,(\mathbf{x} - \mathbf{a}) + \cdots,\!}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mathrm{D}}\) to gradient, a \(\displaystyle{ \mathrm{D}^2}\) to , itd...

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series#Taylor_series_in_several_variables

.

[Alojzy Pompka]

U mnie na wykładzie wzór Taylora był wprowadzony z wykorzystaniem różniczki funkcji i nie jest dzięki temu trudny do zapisania, nie do końca rozumiem tylko pojęcie szeregu Taylora. Szereg to tak jakby wielomian Taylora stopnia nieskończonego bez reszty?

[Spektralny]

nie do końca rozumiem tylko pojęcie szeregu Taylora. Szereg to tak jakby wielomian Taylora stopnia nieskończonego bez reszty?

Tak, szereg Taylora to nieformalnie taki nieskończony wzór (wielomian) Taylora. Zasadnicze pytanie jest o to kiedy taki szereg jest zbieżny do \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\) w którym rozwijamy \(\displaystyle{ f}\). Oczywiście funkcja musi być klasy \(\displaystyle{ C^\infty}\). Wówczas, mamy zbieżność punktową szeregu Taylora w punkcie \(\displaystyle{ x}\) do \(\displaystyle{ f(x)}\) wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg \(\displaystyle{ n}\)-tych reszt Peano (ze wzoru Taylora \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia) jest zbieżny do 0. Warunkiem wystarczającym jest tutaj jednostajnie ograniczenie wszystkich pochodnych funkcji \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\).