Zbieżność w normie całkowej

[Alojzy Pompka]

Pokazać, że ciąg \(\displaystyle{ f_n(x)=\begin{cases} x^n \quad x \in [0,1) \\ 1 \quad x \in [1,2]\end{cases}}\) nie ma granicy w normie całkowej.

Granicę punktową liczę standardowo i otrzymuję \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} f_n(x_0)=\begin{cases} \lim_{n \to \infty} x_0^n = 0 \quad x \in [0,1) \\ 1 \quad x \in [1,2] \end{cases}}\)

Zbieżność jednostajna:
Tutaj jak rozumiem muszę osobno badać przedział \(\displaystyle{ [0,1)}\) i osobno \(\displaystyle{ [1,2]}\).

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [0,1)} ||x^n-0||=\lim_{n\to \infty} \sup_{x \in [0,1)} \int_{0}^{1} x^n dx =\lim_{n\to \infty} \sup_{x \in [0,1)} {\frac{1}{n+1} x^{n+1}}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{n+1}=0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in [1,2]} ||1-1||=0}\)

Na pewno gdzieś tu mam błąd, mogę prosić o pomoc gdzie? Stawiam, że coś trywialnego

[Premislav]

Jaką rozważasz przestrzeń? Czy chodzi Ci o \(\displaystyle{ C([0,2])}\)??
Co rozumiesz przez normę całkową - czy po prostu masz na myśli zbieżność w normie \(\displaystyle{ L_1}\)?

Jeżeli odpowiedzi na oba powyższe pytania są twierdzące, to
załóżmy nie wprost, że dla pewnej funkcji \(\displaystyle{ g \in C([0,2])}\) mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \int_{0}^{2}|f_n(x)-g(x)| \ \dd x=0}\)
Zachodzi:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{2}|f_n-g| \ \dd x= \int_{0}^{1}|f_n-g| \ \dd x+ \int_{1}^{2}|f_n-g| \ \dd x =\\= \int_{0}^{1}\left| x^n-g(x)\right|\ \dd x+ \int_{1}^{2}|1-g(x)| \ \dd x}\)
Skoro \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \int_{0}^{2}|f_n(x)-g(x)| \ \dd x=0}\), to oczywiście także te dwie całki, na które rozbiłem dążą do zera, a więc
\(\displaystyle{ |1-g(x)|\equiv 0}\) na \(\displaystyle{ [1,2]}\) (z ciągłości) oraz
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \int_{0}^{1} |x^n-g(x)| \,\dd x=0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \int_{0}^{1} |g(x)| \,\dd x=0}\),
a to ostatnie wynika z nierówności trójkąta, monotoniczności całki, liniowości całki i faktu, że \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}x^n \,\dd x=\frac{1}{n+1} \rightarrow 0}\).
(\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}|x^n-g(x)| \,\dd x \ge \int_{0}^{1} |g(x)|\,\dd x- \int_{0}^{1}|x^n| \,\dd x}\) )
Czyli \(\displaystyle{ g(x)= \begin{cases} 0 \text{ dla } x\in [0,1) \\ 1 \text{ dla }x \in [1,2] \end{cases}}\).
Ale \(\displaystyle{ g}\) miała być ciągła na \(\displaystyle{ [0,2]}\). Sprzeczność.
Bo generalnie to, że \(\displaystyle{ f_n}\) nie jest zbieżny, to nie musi być prawda. Zależy od przestrzeni.