Matematyka.pl

Ok czyli od początku: f(x) = \sqrt[1000]{x} x_0 = 1, x = 1,01 Szukam przybliżenia f(1,01) = T_n(1,01) + R_n(1,01) Sprawdzam dla T_1(1,01) = 1 + \frac{1}{1000} * 1^{-999/1000} * (1,01 - 1) = 1 \frac{1}{10000} R_1(1,01) = \frac{\frac{999}{10^6} * c ^{\frac{-1999}{1000}}}{2!} \cdot \left ( \frac{1}{10}...

Muszę przybliżyć wartość \sqrt[1000]{1,01} z dokładnością do 10^{-5} No to chcę rozwinąć funkcję f(x) = \sqrt[1000]{x} wokół x_0 = 1 Liczę pochodne: f'(x) = \frac{1}{1000} \cdot x^{\frac{-999}{1000}} f''(x) = \frac{1}{1000} \cdot \frac{-999}{1000} \cdot x^{\frac{-1999}{1000}} f^{(3)}(x) = \frac{1}{1...

Własnie do tego dążyłem, tj. skorzystać z tego tw. że granica jednostajna ciągu funkcji ciągłych jest ciągła - ale własnie musiałem udowodnić że szereg jest zbieżny wpierw (czyli go ograniczyć przez szereg liczbowy, do tego dążyłem w pierwszym poście). Ale druga metoda jest prostsza i szbsza IMHO - ...

W zadaniu zauważyłem pewien wzór \sum_{j =1}^{\infty} f(x_j)(x_j - x_{j-1}) = \int_a^b f(x) Nazywa się jakoś ten wzór? Od czego zależą a,b ? W zadaniu było: Niech a_n = \frac{1}{n \cdot \sqrt{n}} \sum_{j =1}^{\infty} j \left ( \sqrt{j} - \sqrt{j-1} \right ) = \sum_{j=1}^n \frac{j}{n} \left ( \sqrt{\...

Zbadać ciągłość sumy szeregu \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) , gdzie f_n(x) = \frac{x}{x^2 + n^2} oczywiście pierwsze co próbowałem, to ogranicznie tego szeregu przez szereg liczbowy. Tj. szukam ekstremum funkcji f_n : f_n'(x) = \frac{n^2 - x^2}{(x^2 + n^2)^2} czyli f_n'(x) = 0 \Leftrightarrow x = n \vee...

Ok, teraz liczę kolejne pochodne: f'(0) = 1 f''(x) = \frac{-x}{(\sqrt{1 + x^2})^3} \Rightarrow f''(0) = 0 f^{(3)}(x) = \frac{2x^2-1}{(x^2 + 1)^{5/2}} \Rightarrow f^{(3)}(0) = -1 f^{(4)}(x) = \frac{9x - 6x^3}{(x^2 + 1)^{7/2}} \Rightarrow f^{(4)}(0) = 0 f^{(5)}(x) = \frac{3(8^4 - 24x^2 + 3}{(x^2 + 1)^...

Czyli mam: \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^2)^3} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dt}{(1+\tg ^2 t)^2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dt}{(1+\tg ^2 t)^2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dt}{(\frac{1}{\cos t})^2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} cos^2 (t) dt \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} cos^2(t) dt = \int_{0}^{\fr...

\left( \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \right) ' = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1 + x^2}} \cdot 2x \right) = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \right) ... Czyżbym miał gdzieś błąd w rachunkach? Bo niestety nie widzę ...

Dziękuję bardzo, jednak chciałbym też spróbować podstawieniem (w którym nie czuję się dobrze, dlatego ważne dla mnie żeby spróbować).. więc: t = \arctan (x) \frac{dt}{dx} = \frac{1}{1 + x^2} dt = \frac{dx}{1 + x^2} tak więc: \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^2)^3} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{(1+\...

Muszę obliczyć \(\displaystyle{ \cos ^2 x}\) z dokładnością \(\displaystyle{ d = 1/10}\)
Żeby nie bawić się podnoszenie szeregu do kwadratu, chcę najpierw obliczyć \(\displaystyle{ \cos 1}\) i potem do kwadratu. Pytanie - jak bardzo powiniem przybliżyć \(\displaystyle{ \cos 1}\) żeby kwadrat wyszedł z dokładnością \(\displaystyle{ d}\)? Czy wystarczy \(\displaystyle{ d_1 = 1/100}\)?

Witam, muszę obliczyć całkę: \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x^2)^3} Niestety, całkowanie przez części nic nie daje, rozbiór na ułamki proste też (albo popełniłem błąd).. podejrzewam, że można pewnie jakoś inteligentnie przekształcić, jednak nie mogę na nic wpaść. Jedyne, czego nie próbowałem tylko to rozb...

Witam, muszę rozwinąć w szereg nastepującą funkcję: f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) w otoczeniu 0 . Liczenie kolejnych pochodnych mija się chyba z celem (wychodzą brzydkie bardzo) więc rozbiłem to na taki oto twór: \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) = ...

Potrzebuję znaleźć przykład ciągu funkcyjnego, takiego że przy przejściu do granicy w zbieżności punktowej nie zachowuje się ciągłość oraz takiego że nie zachowuje się różniczkowalność. Z tego co zrozumiałem chodzi np. o to, że funkcje ciągu funkcyjnego są np. ciągłe, ale funkcja która jest granicą ...

Jak obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\tg{3x}}{\tg x}}\) z użyciem wzoru Taylora? Czy trzeba korzystać z tego potężnego wzoru sumy zawierającego liczby Bernoulliego?

Witam, mam problem z następującym zadaniem: Funkcja f: (0,10] \rightarrow \mathbb{R} jest ciągła i osiąga w 3 swą największą wartość. Udowodnij, że istnieje x_0 t. że f(x_0) = f(3 \cdot x_0) . Intuicyjnie "widać" że to prawda, jednak mam problem z dowodem formalnym. Podejrzewam, że trzeba ...