Witam, muszę obliczyć całkę:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x^2)^3}}\)
Niestety, całkowanie przez części nic nie daje, rozbiór na ułamki proste też (albo popełniłem błąd).. podejrzewam, że można pewnie jakoś inteligentnie przekształcić, jednak nie mogę na nic wpaść.
Jedyne, czego nie próbowałem tylko to rozbicie to ze wzoru, tj:
\(\displaystyle{ (1 + x^2)^3 = (1 + x^{2/3})(1 - x^{2/3} + x^{4/3})}\) ale niestety nie widzę, żeby to w jakiś znaczący sposób pomogło.
Całka z ułamka
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Całka z ułamka
Można też tak:
\(\displaystyle{ I_m=\int \frac{1}{(x^2+1)^m}= \int \frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^m}=I_{m-1}-\int x \cdot\frac{x}{(x^2+1)^m}=\\ =
I_{m-1} + \frac{1}{2m-2}\int x \cdot \left( \frac{1}{(x^2+1)^{m-1}} \right) ' =\\ = I_{m-1} +\frac{1}{2m-2} \cdot \frac{x}{(x^2+1)^{m-1}} - \frac{1}{2m-2}I_{m-1} = \\ =
\frac{1}{2m-2} \cdot \frac{x}{(x^2+1)^{m-1}}+ \frac{2m-3}{2m-2}I_{m-1}}\)
Q.
\(\displaystyle{ I_m=\int \frac{1}{(x^2+1)^m}= \int \frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^m}=I_{m-1}-\int x \cdot\frac{x}{(x^2+1)^m}=\\ =
I_{m-1} + \frac{1}{2m-2}\int x \cdot \left( \frac{1}{(x^2+1)^{m-1}} \right) ' =\\ = I_{m-1} +\frac{1}{2m-2} \cdot \frac{x}{(x^2+1)^{m-1}} - \frac{1}{2m-2}I_{m-1} = \\ =
\frac{1}{2m-2} \cdot \frac{x}{(x^2+1)^{m-1}}+ \frac{2m-3}{2m-2}I_{m-1}}\)
Q.
-
bemekw
- Użytkownik
- Posty: 148
- Rejestracja: 22 paź 2011, o 16:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 5 razy
Całka z ułamka
Dziękuję bardzo, jednak chciałbym też spróbować podstawieniem (w którym nie czuję się dobrze, dlatego ważne dla mnie żeby spróbować).. więc:
\(\displaystyle{ t = \arctan (x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{dt}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}}\)
\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{1 + x^2}}\)
tak więc:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^2)^3} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{(1+\tg ^2 t)^2}}\)
Czy dobrze to zrobiłem? I dalej już normalnie rozwiązać poprzez ułamki proste?
\(\displaystyle{ t = \arctan (x)}\)
\(\displaystyle{ \frac{dt}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}}\)
\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{1 + x^2}}\)
tak więc:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^2)^3} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dt}{(1+\tg ^2 t)^2}}\)
Czy dobrze to zrobiłem? I dalej już normalnie rozwiązać poprzez ułamki proste?
Ostatnio zmieniony 14 cze 2012, o 10:14 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Całka z ułamka
Źle robisz. Zauważ, że skoro
\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{1 + x^2}}\)
to
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^2)^3} = \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x^2)^2} \cdot \frac{dx}{(1+x^2)}}\)
i psuje się podstawienie.
Rób tak:
\(\displaystyle{ x=\tg t \\
dx = \frac{dt}{\cos^2 t}}\)
Podstaw i zobacz co tam wychodzi.
Qń - spotkałem, nie lubię.
\(\displaystyle{ dt = \frac{dx}{1 + x^2}}\)
to
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^2)^3} = \int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x^2)^2} \cdot \frac{dx}{(1+x^2)}}\)
i psuje się podstawienie.
Rób tak:
\(\displaystyle{ x=\tg t \\
dx = \frac{dt}{\cos^2 t}}\)
Podstaw i zobacz co tam wychodzi.
Qń - spotkałem, nie lubię.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Całka z ułamka
Nie, w tamtym rachunku wszystko jest ok. Dalej należy uprościć korzystając z jedynki trygonometrycznej i scałkować parzystą potęgę cosinusa.scyth pisze:Źle robisz.
Q.
-
bemekw
- Użytkownik
- Posty: 148
- Rejestracja: 22 paź 2011, o 16:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 5 razy
Całka z ułamka
Czyli mam:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^2)^3} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dt}{(1+\tg ^2 t)^2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dt}{(1+\tg ^2 t)^2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dt}{(\frac{1}{\cos t})^2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} cos^2 (t) dt}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} cos^2(t) dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} dt + \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2t) dt}\)
Teraz podstawienie:
\(\displaystyle{ u = 2t}\), czyli \(\displaystyle{ du = 2 \cdot dt}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} dt + \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(u) du}\)
Czyli wynik:
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{2 + \pi}{8}}\)
Wydaje się dobrze, dzięki - chyba złapałem o co chodzi w podstawianiu.
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^2)^3} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dt}{(1+\tg ^2 t)^2}}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dt}{(1+\tg ^2 t)^2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dt}{(\frac{1}{\cos t})^2} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} cos^2 (t) dt}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} cos^2(t) dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} dt + \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2t) dt}\)
Teraz podstawienie:
\(\displaystyle{ u = 2t}\), czyli \(\displaystyle{ du = 2 \cdot dt}\)
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} dt + \frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(u) du}\)
Czyli wynik:
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{2 + \pi}{8}}\)
Wydaje się dobrze, dzięki - chyba złapałem o co chodzi w podstawianiu.