Potrzebuję znaleźć przykład ciągu funkcyjnego, takiego że przy przejściu do granicy w zbieżności punktowej nie zachowuje się ciągłość oraz takiego że nie zachowuje się różniczkowalność.
Z tego co zrozumiałem chodzi np. o to, że funkcje ciągu funkcyjnego są np. ciągłe, ale funkcja która jest granicą nie jest ciągła. Można prosić o jakieś wskazówki?
Zbieżność punktowa a różniczkowalność
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Zbieżność punktowa a różniczkowalność
weź taki ciąg funkcji \(\displaystyle{ f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}}\),że
pierwsza to
\(\displaystyle{ f_{1}(x)=x}\)
\(\displaystyle{ f_{n}(x)= \begin{cases} 0 \ \ \quad{dla} \ x< \frac{1}{2} \\ 2^{n}\left( x- \frac{1}{2} \right) \ \ \quad{dla} \ x \in \left[ \frac{1}{2}; \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{n}} \right] \\ 1 \ \ \quad{dla \ reszty} \end{cases}}\) Jak sobie będziesz rysować sobie wykresy poszczególnych funkcji to otrzymasz najpierw kawałek stale równy zero,a potem jeden połączone coraz bardziej stromym odcinkiem. To będzie przykład gdzie nie będzie ciągłości po przejściu do granicy,a \(\displaystyle{ g_{n}(x)=xf(x)}\) -różniczkowalności przy zachowanej ciągłości.
pierwsza to
\(\displaystyle{ f_{1}(x)=x}\)
\(\displaystyle{ f_{n}(x)= \begin{cases} 0 \ \ \quad{dla} \ x< \frac{1}{2} \\ 2^{n}\left( x- \frac{1}{2} \right) \ \ \quad{dla} \ x \in \left[ \frac{1}{2}; \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{n}} \right] \\ 1 \ \ \quad{dla \ reszty} \end{cases}}\) Jak sobie będziesz rysować sobie wykresy poszczególnych funkcji to otrzymasz najpierw kawałek stale równy zero,a potem jeden połączone coraz bardziej stromym odcinkiem. To będzie przykład gdzie nie będzie ciągłości po przejściu do granicy,a \(\displaystyle{ g_{n}(x)=xf(x)}\) -różniczkowalności przy zachowanej ciągłości.