Ciągłość sumy szeregu

[bemekw]

Zbadać ciągłość sumy szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ f_n(x) = \frac{x}{x^2 + n^2}}\)
oczywiście pierwsze co próbowałem, to ogranicznie tego szeregu przez szereg liczbowy. Tj. szukam ekstremum funkcji \(\displaystyle{ f_n}\):
\(\displaystyle{ f_n'(x) = \frac{n^2 - x^2}{(x^2 + n^2)^2}}\) czyli \(\displaystyle{ f_n'(x) = 0 \Leftrightarrow x = n \vee x = -n}\)
Skoro \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \pm \infty} f_n(x) = 0}\) więc

\(\displaystyle{ sup_{x \in \mathbb{R}} \left | {f_n(x)} \right | \le f_n( \pm n) = \frac{n}{n^2 + n^2} = \frac{1}{2n}}\)

Jednak szereg \(\displaystyle{ \sum_n^{\infty} \frac{1}{2n}}\) nie jest zbieżny, więc to złe oszacowanie..

[luka52]

Do ograniczenia wystarczy proste szacowanie (dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\), dla ujemnych analogicznie):
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^2 + x^2} \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} x}\)

[adambak]

bemekw, granica jednostajna ciągu funkcji ciągłych jest ciągła - aż się prosi, żeby użyć tego twierdzenia.. ale ja na przykład nie wiem czy ten szereg jest jednostajnie zbieżny, można jednak sobie inaczej poradzić:

0. funkcje \(\displaystyle{ f_n}\) są różniczkowalne
1. z oszacowania które podał luka52 wynika, że szereg ten jest zbieżny punktowo (nawet niemal jednostajnie)
2. nietrudno sprawdzić, że szereg \(\displaystyle{ \sum_{}^{} f_n'}\) jest jednostajnie zbieżny (wystarczyłaby nawet niemal jednostajna zbieżność)

dzięki tym obserwacjom możemy stwierdzić, że granica punktowa szeregu \(\displaystyle{ \sum_{}^{} f_n}\) jest różniczkowalna, zatem jest ciągła..

[bemekw]

Własnie do tego dążyłem, tj. skorzystać z tego tw. że granica jednostajna ciągu funkcji ciągłych jest ciągła - ale własnie musiałem udowodnić że szereg jest zbieżny wpierw (czyli go ograniczyć przez szereg liczbowy, do tego dążyłem w pierwszym poście).

Ale druga metoda jest prostsza i szbsza IMHO - dzięki za hint, po prostu nie skojarzyłem tego twierdzenia ze skryptu "o różniczkowalności granicy".