Muszę obliczyć \(\displaystyle{ \cos ^2 x}\) z dokładnością \(\displaystyle{ d = 1/10}\)
Żeby nie bawić się podnoszenie szeregu do kwadratu, chcę najpierw obliczyć \(\displaystyle{ \cos 1}\) i potem do kwadratu. Pytanie - jak bardzo powiniem przybliżyć \(\displaystyle{ \cos 1}\) żeby kwadrat wyszedł z dokładnością \(\displaystyle{ d}\)? Czy wystarczy \(\displaystyle{ d_1 = 1/100}\)?
Przybliżanie wartości szeregem
-
bemekw
- Użytkownik
- Posty: 148
- Rejestracja: 22 paź 2011, o 16:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 42 razy
- Pomógł: 5 razy
Przybliżanie wartości szeregem
Ostatnio zmieniony 14 cze 2012, o 09:16 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
Powód: Temat umieszczony w złym dziale.
-
Jacek_Karwatka
- Użytkownik
- Posty: 351
- Rejestracja: 2 maja 2012, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 94 razy
Przybliżanie wartości szeregem
jeśli prawdziwa wartość jest \(\displaystyle{ W}\)
a my obliczyliśmy ja z błędem bezwzględnym \(\displaystyle{ W+\epsilon}\)
to jej kwadrat jest obliczony z błędem \(\displaystyle{ \left(W+\epsilon \right) ^{2}=W ^{2}+2W \epsilon + \epsilon ^{2}}\)
chcemy aby błąd \(\displaystyle{ 2W \epsilon + \epsilon ^{2}< \frac{1}{10}}\)
wiemy też że \(\displaystyle{ W=\cos(x) \le 1}\) Jeśli weźmiemy najgorszy przypadek \(\displaystyle{ W=1}\) równie uprości się do: \(\displaystyle{ 2 \epsilon + \epsilon ^{2}< \frac{1}{10}}\)
Jest to równanie kwadratowa które można rozwiązać ze względu na \(\displaystyle{ \epsilon}\). W praktyce ponieważ \(\displaystyle{ \epsilon ^{2}<< \epsilon}\) przyjmuje się oszacowanie : \(\displaystyle{ 2W \epsilon < d}\)
\(\displaystyle{ \epsilon < \frac{d}{2}}\)
Jeśli koniecznie chcemy uwzględnić pominięty składnik kwadratowy można zauważyć że \(\displaystyle{ \epsilon < 1}\) wtedy \(\displaystyle{ 2 \epsilon + \epsilon ^{2}< \epsilon + 2 \epsilon = 3 \epsilon}\)
Sumaryczny błąd kwadratu jest rzędu \(\displaystyle{ 2 \epsilon}\) i mniejszy niż \(\displaystyle{ 3\epsilon}\).
Wystarczy że \(\displaystyle{ \cos(x)}\) policzymy z dokładnością do \(\displaystyle{ \frac{1}{21}}\). Po podniesieniu do kwadratu mamy błąd \(\displaystyle{ \frac{2}{21}+ \frac{1}{441}< \frac{1}{10}}\)
a my obliczyliśmy ja z błędem bezwzględnym \(\displaystyle{ W+\epsilon}\)
to jej kwadrat jest obliczony z błędem \(\displaystyle{ \left(W+\epsilon \right) ^{2}=W ^{2}+2W \epsilon + \epsilon ^{2}}\)
chcemy aby błąd \(\displaystyle{ 2W \epsilon + \epsilon ^{2}< \frac{1}{10}}\)
wiemy też że \(\displaystyle{ W=\cos(x) \le 1}\) Jeśli weźmiemy najgorszy przypadek \(\displaystyle{ W=1}\) równie uprości się do: \(\displaystyle{ 2 \epsilon + \epsilon ^{2}< \frac{1}{10}}\)
Jest to równanie kwadratowa które można rozwiązać ze względu na \(\displaystyle{ \epsilon}\). W praktyce ponieważ \(\displaystyle{ \epsilon ^{2}<< \epsilon}\) przyjmuje się oszacowanie : \(\displaystyle{ 2W \epsilon < d}\)
\(\displaystyle{ \epsilon < \frac{d}{2}}\)
Jeśli koniecznie chcemy uwzględnić pominięty składnik kwadratowy można zauważyć że \(\displaystyle{ \epsilon < 1}\) wtedy \(\displaystyle{ 2 \epsilon + \epsilon ^{2}< \epsilon + 2 \epsilon = 3 \epsilon}\)
Sumaryczny błąd kwadratu jest rzędu \(\displaystyle{ 2 \epsilon}\) i mniejszy niż \(\displaystyle{ 3\epsilon}\).
Wystarczy że \(\displaystyle{ \cos(x)}\) policzymy z dokładnością do \(\displaystyle{ \frac{1}{21}}\). Po podniesieniu do kwadratu mamy błąd \(\displaystyle{ \frac{2}{21}+ \frac{1}{441}< \frac{1}{10}}\)