Matematyka.pl

Witam, mam problem z następującym zadaniem:
Funkcja \(\displaystyle{ f: (0,10] \rightarrow \mathbb{R}}\) jest ciągła i osiąga w 3 swą największą wartość. Udowodnij, że istnieje \(\displaystyle{ x_0}\) t. że \(\displaystyle{ f(x_0) = f(3 \cdot x_0)}\).
Intuicyjnie "widać" że to prawda, jednak mam problem z dowodem formalnym. Podejrzewam, że trzeba jakoś się powołać na wartość Darboux (o osiąganiu wartości pośrednich) jednak albo Weiestress'a (o osiąganiu kresów) ale niestety, nie mam pojęcia jak - można prosić o jakiekolwiek wskazówki?

Rozpatrzmy funkcję \(\displaystyle{ g:\left( 0, 3 \frac{1}{3} \right] \rightarrow \mathbb{R}}\) daną wzorem:

\(\displaystyle{ g(x)=f(x)-f(3x)}\).

Jest ona oczywiście ciągła. Zauważmy, że:

\(\displaystyle{ g(1)=f(1)-f(3)<0 \\
g(3)=f(3)-f(9)>0}\)

Zatem na \(\displaystyle{ (1,3)}\) funkcja \(\displaystyle{ g}\) zmienia znak. Stąd istnieje takie \(\displaystyle{ x_{0} \in (1,3)}\), że \(\displaystyle{ g(x_{0})=0}\). Ale to oznacza:

\(\displaystyle{ f(x_{0})-f(3x_{0})=0 \\
f(x_{0})=f(3x_{0})}\)