Rozwiniecie w szereg logarytmu

[bemekw]

Witam,
muszę rozwinąć w szereg nastepującą funkcję: \(\displaystyle{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\): \(\displaystyle{ \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)}\) w otoczeniu \(\displaystyle{ 0}\).
Liczenie kolejnych pochodnych mija się chyba z celem (wychodzą brzydkie bardzo) więc rozbiłem to na taki oto twór:
\(\displaystyle{ \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) = \ln x + \ln \left( 1 + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} \right)}\)

Niestety, tu pojawia się problem, gdyż:
aby rozwinąć \(\displaystyle{ \ln x}\) ze wzoru, to musi zachodzić \(\displaystyle{ 0 < x \le 2}\) a dla drugiego logarytmu \(\displaystyle{ -1 < x \le 1}\). Co w takim przypadku? Musimy się tym przejmować?

[Jacek_Karwatka]

z tego co pamiętam pochodna \(\displaystyle{ \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)}\) to \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1+x ^{2} } }}\)

[bemekw]

\(\displaystyle{ \left( \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \right) ' = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1 + x^2}} \cdot 2x \right)}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \right)}\)... Czyżbym miał gdzieś błąd w rachunkach? Bo niestety nie widzę dalej tego przekształcenia do takiej ładnej postaci..

[scyth]

\(\displaystyle{ = \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \right) =
\frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \left( \frac{\sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \right) =\\=
\frac{1}{x + \sqrt{1 + x^2}} \cdot \frac{x+\sqrt{1 + x^2}}{\sqrt{1 + x^2}}}\)

[bemekw]

Ok, teraz liczę kolejne pochodne:
\(\displaystyle{ f'(0) = 1}\)
\(\displaystyle{ f''(x) = \frac{-x}{(\sqrt{1 + x^2})^3} \Rightarrow f''(0) = 0}\)
\(\displaystyle{ f^{(3)}(x) = \frac{2x^2-1}{(x^2 + 1)^{5/2}} \Rightarrow f^{(3)}(0) = -1}\)
\(\displaystyle{ f^{(4)}(x) = \frac{9x - 6x^3}{(x^2 + 1)^{7/2}} \Rightarrow f^{(4)}(0) = 0}\)
\(\displaystyle{ f^{(5)}(x) = \frac{3(8^4 - 24x^2 + 3}{(x^2 + 1)^{9/2}} \Rightarrow f^{(5)}(0) = 9}\)
\(\displaystyle{ f^{(6)}(x) = \frac{15x(8^4 - 40x^2 + 15}{(x^2 + 1)^{11/2}} \Rightarrow f^{(6)}(0) = 0}\)
\(\displaystyle{ f^{(7)}(x) = \frac{-45(16x^6 - 120x^4 + 90x^2 - 5)}{(x^2 + 1)^{13/2}} \Rightarrow f^{(7)}(0) = 225}\)
\(\displaystyle{ f^{(8)}(x) = \frac{315x(16x^6 - 168x^4 + 210x^2 - 35)}{(x^2 + 1)^{15/2}} \Rightarrow f^{(8)}(0) = 0}\)
\(\displaystyle{ f^{(9)}(x) = \frac{-315(128x^8 - 1792x^6 + 3360x^4 - 1120x^2 + 35)}{(x^2 + 1)^{17/2}} \Rightarrow f^{(9)}(0) = 11025}\)

Niestety, wzór chyba nie zbyt ciekawy wyjdzie :/ pochodne sprawdzane w wolpramie, więc raczej powinny być dobre.

[adambak]

skoro \(\displaystyle{ f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}\), to można to nietrudno rozwinąć w szereg i skorzystać z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego:

\(\displaystyle{ f(x)=f(0)+ \int_{0}^{x}f'(t) \mbox{d}t}\)
dla jakich to iksów to wyniknie z rozwinięcia w szereg tej pochodnej..


jeśli miałeś na ćwiczeniach sinus hiperboliczny to można też nim się pobawić, albowiem: \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \mbox{d}x =\sinh^{-1}(x)+C}\)