Suma szeregu a całka

[bemekw]

W zadaniu zauważyłem pewien wzór
\(\displaystyle{ \sum_{j =1}^{\infty} f(x_j)(x_j - x_{j-1}) = \int_a^b f(x)}\)
Nazywa się jakoś ten wzór? Od czego zależą \(\displaystyle{ a,b}\)?
W zadaniu było:
Niech \(\displaystyle{ a_n = \frac{1}{n \cdot \sqrt{n}} \sum_{j =1}^{\infty} j \left ( \sqrt{j} - \sqrt{j-1} \right ) = \sum_{j=1}^n \frac{j}{n} \left ( \sqrt{\frac{j}{n}} - \sqrt{\frac{j-1}{n}} \right )}\)
Wtedy \(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}}\)

Niżej komentarz:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n \cdot \sqrt{n}} \sum_{j =1}^{\infty} \frac{j}{\sqrt{j} + \sqrt{j-1}} \ge \frac{1}{n \cdot \sqrt{n}} \sum_{j =1}^{\infty} \frac{j}{2 \cdot \sqrt{j}} = \frac{1}{2 \cdot n} \sum_{j = 1}^{\infty} \sqrt{\frac{j}{n}} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \int_0^1 \sqrt{x}dx = \frac{1}{3}}\)

Czy to wynika z jakiejś definicji całki?

[szw1710]

To pierwsze to suma całkowa i dopiero granica ciągu sum całkowych daje wartość całki. Tak, tego typu rozumowania oparte są na definicji całki.

[Majeskas]

To jest przybliżanie całki sumami całkowymi. Z tego faktu wynika cała interpretacja geometryczna całki oznaczonej jako pola pod wykresem. Twierdzenie można sformułować tak:

Niech \(\displaystyle{ f\in C([a,b])}\) i niech \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Istnieje wówczas taka liczba \(\displaystyle{ \delta>0}\), że jeżeli

\(\displaystyle{ a<x_0<x_1<x_2<\ldots<x_n=b,\qquad x_i-x_{i-1}<\delta}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n}\), oraz \(\displaystyle{ t_i\in[x_{i-1},x_i]}\), to

\(\displaystyle{ \left| \int\limits_a^bf(x)\,dx-\sum_{i=1}^nf(t_i)(x_i-x_{i-1})\right|<\varepsilon}\).

W tym twierdzeniu całkę rozumiemy w sensie Newtona: \(\displaystyle{ \int\limits_a^bf(x)=F(b)-F(a)}\), gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest funkcją pierwotną. Ale można też zdefiniować całkę oznaczoną jako granicę odpowiednich sum całkowych. W ten sposób definiuje się całkę Riemanna. Wówczas wzór Newtona będzie twierdzeniem.