Matematyka.pl

Muszę przybliżyć wartość \(\displaystyle{ \sqrt[1000]{1,01}}\) z dokładnością do \(\displaystyle{ 10^{-5}}\)

No to chcę rozwinąć funkcję \(\displaystyle{ f(x) = \sqrt[1000]{x}}\) wokół \(\displaystyle{ x_0 = 1}\)

Liczę pochodne:
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{1}{1000} \cdot x^{\frac{-999}{1000}}}\)
\(\displaystyle{ f''(x) = \frac{1}{1000} \cdot \frac{-999}{1000} \cdot x^{\frac{-1999}{1000}}}\)
\(\displaystyle{ f^{(3)}(x) = \frac{1}{1000} \cdot \frac{-999}{1000} \cdot \frac{-1999}{1000} \cdot x^{\frac{-2999}{1000}}}\)

\(\displaystyle{ f(x) = x_0 + \frac{f'(x_0)}{1!} \cdot (x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!} \cdot (x - x_0) + \ldots}\)
I tu niestety nie wiem, jak znaleźć to przybliżenie.. tzn. trzeba znaleźć wzór na n-tą pochodną I użyć np. resztę w postaci Lagrange'a..
Mój pomysł:
\(\displaystyle{ f^{n}(x) = \prod_{k=0}^{n-2} \frac{-(1000k + 999)}{10^{3k+3}} \cdot x^{\frac{-(1000*(n-1) +999)}{1000}}}\) dla \(\displaystyle{ n > 2}\)
Czy dobrze rozumuję? Czy moze jest prostszy sposób rozwiązania tego problemu?

\(\displaystyle{ f(x) = x_0 + \frac{f'(x_0)}{1!} \cdot (x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!} \cdot (x - x_0) + \ldots}\)

Źle. Powinno być:

\(\displaystyle{ f(x) = x_0 + \frac{f'(x_0)}{1!} \cdot (x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!} \cdot (x - x_0)^{2} + \ldots}\)

Musisz oszacować, dla jakiego \(\displaystyle{ n}\) reszta Lagrange'a jest mniejsza co do modułu od \(\displaystyle{ 10^{-5}}\).

A więc:

\(\displaystyle{ \left| \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-1,01)^{n+1} \right|<10^{-5}}\), dla \(\displaystyle{ \xi = 1,01 + \theta (x-1,01), \quad \theta \in [0,1]}\)

słusznie chcesz rozwijać w \(\displaystyle{ x_0=1}\), ale przypomnij sobie dokładnie (tak naprawdę) twierdzenie Lagrange'a o postaci reszty Taylora.. pierwsza część tego zadania jest wprowadzająca, potem robi się ciekawiej, w skrócie:
\(\displaystyle{ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}}\)
no i sprawdź co otrzymasz jeśli weźmiesz \(\displaystyle{ n=0}\) i wywnioskuj z tego, że aby uzyskać podaną dokładność wystarczy rozwinąć dwa razy..

tylko tyle, entej pochodnej nie staraj się wyprowadzić bo to pułapka..

Ok czyli od początku:
\(\displaystyle{ f(x) = \sqrt[1000]{x}}\)
\(\displaystyle{ x_0 = 1, x = 1,01}\)
Szukam przybliżenia \(\displaystyle{ f(1,01) = T_n(1,01) + R_n(1,01)}\)

Sprawdzam dla \(\displaystyle{ T_1(1,01) = 1 + \frac{1}{1000} * 1^{-999/1000} * (1,01 - 1) = 1 \frac{1}{10000}}\)

\(\displaystyle{ R_1(1,01) = \frac{\frac{999}{10^6} * c ^{\frac{-1999}{1000}}}{2!} \cdot \left ( \frac{1}{10} \right )^2}\), gdzie \(\displaystyle{ c \in [1, 1.01]}\) czyli \(\displaystyle{ R_1(1,01) < \frac{999}{2*10^7}}\)

Czyli przybliżenie jest tak podane w zadaniu, przy czym błąd jest nie większy niż \(\displaystyle{ \frac{999}{2*10^8}}\)

Czy teraz to ma sens?

no właśnie o to chodzi, tylko rachunki słabe - chociażby \(\displaystyle{ 1,01-1\neq \frac{1}{10}}\)

poza tym, żeby sobie ułatwić życie można sprawdzić, jak napisałem wcześniej, co jest dla \(\displaystyle{ n=0}\), bowiem wtedy reszta to: \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{1000}\cdot c^{\frac{-999}{1000}}}{1!}\cdot \frac{1}{100}=10^{-5}\cdot \left( \frac{1}{c}\right)^{\frac{999}{1000}}<10^{-5}}\)

nierówność ostra, bo jak teraz sprawdziłem w skrypcie to \(\displaystyle{ c\in(x?x_0)}\), ale nic nie zaszkodzi rozwinąć jeszcze dalej bo wtedy dokładność będzie jeszcze lepsza, ja zawsze na wszelki wypadek na kolosie i egzaminie rozwijałem o jeden dalej

czyli odpowiedź w postaci \(\displaystyle{ T_1(1,01)}\) jest ok

-- 16 sie 2012, o 15:10 --

wolfram potwierdza, że \(\displaystyle{ T_0(1,01)}\) jest ok wynikiem.. w takim razie \(\displaystyle{ T_1(1,01)}\) jest jeszcze lepsze..