Matematyka.pl

Ciężarek o masie 1 kg zawieszony na pewnej sprężynie rozciąga ją o \frac{49}{320} m . Ciągniemy ten ciężarek w dół o dodatkowe \frac{1}{4}m i puszczamy. Oblicz amplitudę, okres i częstotliwość powstałych drgań. Przyjmij g=9.8\frac{m}{s^2} . Zadanie jest w rozdziale o równaniach różniczkowych drugieg...

Dane jest

\(\displaystyle{ e^{At} = \begin{pmatrix}
2e^{2t}-e^t & e^{2t}-e^t & e^t-e^{2t} \\
e^{2t}-e^t & 2e^{2t}-e^t & e^t-e^{2t} \\
3e^{2t}-3e^t&3e^{2t}-3e^t & 3e^{t}-2e^{2t}
\end{pmatrix},}\)
należy wyznaczyć \(\displaystyle{ A}\). Jak to zrobić?

Dziękuję. Tak właśnie sądziłem, chciałem się upewnić. Taka linearyzacja to byłoby zbyt miło.

Tak, wiem. Ale to nie jest układ liniowy.

Zadanie polega na zamianie równania na układ równań pierwszego rzędu: y''' + (y')^2 = 0 Kłopot sprawia mi tutaj kwadrat, który się pojawia w powyższym równaniu. Zadanie dotyczy działu o układach równań liniowych, ale w poleceniu nic nie jest napisane o liniowości. Czy da się to zamienić na układ rów...

Mam znaleźć rzut ortogonalny f(x) = x^3 na podprzestrzeń X = span\{1,x\} , H = L^2(0,1) z miarą Lebesgue'a. Robię tak: rzut to u = \alpha_1\cdot 1 + \alpha_2\cdot x , gdzie \alpha_1, \alpha_2 spełniają układ \alpha_1<1,1> + \alpha_2<x,1> = <x^3,1>\\ \alpha_1<1,x> + \alpha_2<x,x> = <x^3,x> Nie wiem j...

Próbuję pokazać równość w nierówności Schwarza, podnoszę obie strony równania wynikającego z założenia do kwadratu i dochodzę do: <u,v> + <v,u> = 2||u||||v|| . Zatem równość zachodzi, gdy <u,v> = <v,u> , ale na wykładzie w definicji przestrzeni unitarnych był warunek <u,v> = \overline{<v,u>} , czyli...

Niech \(\displaystyle{ x,y,z \in H}\), gdzie \(\displaystyle{ H}\) to przestrzeń unitarna.

Mam pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ ||x-z|| = ||x-y|| + ||y-z||}\) to \(\displaystyle{ y}\) jest kombinacją wypukłą \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ z}\). Implikację w przeciwną stronę umiem pokazać.

Niech F \subset E , gdzie F to domknięta podprzestrzeń. Wykazać, że jeżeli F , E/F są zupełne to E jest zupełna. Próbuję zrozumieć dowód z książki , Twierdzenie 1.2.4.2, podpunkt f), strony 113-115, i nie wiem czemu można wziąć y_n takie, że: ||x_n-x-y_n|| \leq ||q(x_n-x)|| + \frac{1}{n} .

Jeżeli \(\displaystyle{ Y}\) jest domkniętą podprzestrzenią przestrzeni unormowanej \(\displaystyle{ X}\),
to odwzorowanie \(\displaystyle{ x \rightarrow [x] \in X/Y}\) jest ciągłe.

Dodawanie na poziomie warstw? A nie suma zbiorów?

Dzięki. Wyjaśnia się. Pozostaje wykazać, że \phi jest homomorfizmem. \phi(a_1 + a_2) = \phi(a_1) \cup \phi(a_2) \quad (a_1, a_2 \in A) , co się sprowadza do równości zbiorów: \left\{z = a_1 + a_2 + 0 + b : b \in B\right\} = \left\{z = a + 0 + b : b \in B, a \in \left\{a_1, a_2\right\}\right\} i nies...

OK, widzę już czemu obraz jest tym czym powinien. Dzięki. Ciągle jednak mam kłopot z jądrem przekształcenia. Chodziło mi o element neutralny na poziomie warstw. Czy Ker\phi = \{x \in A : \phi(x) = [0+0] \} ? Jeżeli tak, to trzeba pokazać równość: [x+0]=[0+0] \quad (x \in A \cap B). Zawieranie \subse...

Dziękuję za cierpliwość. Zastanawiam się dlaczego Ker\phi = A \cap B , tzn. co jest elementem neutralnym i dlaczego jest on osiągany dla elementów z A \cap B ? Poza tym, obraz \phi(A) to wszystkie warstwy postaci [a+0] , ale czemu to jest pełne (A+B)/B , skoro B z sumy A+B reprezentuje tylko 0 ?