Matematyka.pl

Dane jest

\(\displaystyle{ e^{At} = \begin{pmatrix}
2e^{2t}-e^t & e^{2t}-e^t & e^t-e^{2t} \\
e^{2t}-e^t & 2e^{2t}-e^t & e^t-e^{2t} \\
3e^{2t}-3e^t&3e^{2t}-3e^t & 3e^{t}-2e^{2t}
\end{pmatrix},}\)
należy wyznaczyć \(\displaystyle{ A}\). Jak to zrobić?

Zapisz sobie lewą stronę w postaci szeregu i tak samo każdy z elementów macierzy, powinno się dać tak.

Wskazówka:

\(\displaystyle{ e^{At}=Pe^{J}P^{-1}}\),

gdzie

\(\displaystyle{ A=PJP{-1}}\) jest rozkładem Jordana.

"Wystarczy" więc znaleźć rozkład Jordana macierzy \(\displaystyle{ e^{At}}\), odwrócić potęgowanie macierzy \(\displaystyle{ J}\) i odtworzyć z tego \(\displaystyle{ A}\) zgodnie z powyższym wzorkiem. Macierz \(\displaystyle{ P}\) jest taka sama w obu rozkładach.

Niestety w powyższym przykładzie jest to koszmar rachunkowy, ale sprawdziłem w programie obliczenia dla macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2& 1\\ -3&2\end{bmatrix}}\) i algorytm przywrócił pierwotną macierz. Nie widzę powodu, dla którego miałoby to nie zadziałać dla większych macierzy.

Wsk: \(\displaystyle{ (e^{At})'=Ae^{At}}\)