Mam znaleźć rzut ortogonalny \(\displaystyle{ f(x) = x^3}\) na podprzestrzeń \(\displaystyle{ X = span\{1,x\}}\), \(\displaystyle{ H = L^2(0,1)}\) z miarą Lebesgue'a.
Robię tak: rzut to \(\displaystyle{ u = \alpha_1\cdot 1 + \alpha_2\cdot x}\), gdzie \(\displaystyle{ \alpha_1, \alpha_2}\) spełniają układ
\(\displaystyle{ \alpha_1<1,1> + \alpha_2<x,1> = <x^3,1>\\
\alpha_1<1,x> + \alpha_2<x,x> = <x^3,x>}\)
Nie wiem jednak jak wyglądają iloczyny skalarne w tej przestrzeni, czy to są całki na przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\)? Co to znaczy z miarą Lebesgue'a?
Rzut ortogonalny
-
MisterWolf
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 1 raz
-
bartek118
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Rzut ortogonalny
Wiesz co to jest miara Lebesgue'a? Wiesz co to jest całka względem miary?
Niech \(\displaystyle{ \ell}\) oznacza miarę Lebesgue'a na \(\displaystyle{ (0,1)}\). Dla dwóch funkcji (a de facto klas abstrakcji) z \(\displaystyle{ L^2 (0,1)}\), powiedzmy \(\displaystyle{ f}\), \(\displaystyle{ g}\) iloczyn skalarny zadany jest wzorem
\(\displaystyle{ \langle f, g \rangle = \int_{(0,1)} f \cdot g\mathrm{d} \ell,}\)
powyższa całka jest całką względem miary Lebesgue'a \(\displaystyle{ \ell}\).
Niech \(\displaystyle{ \ell}\) oznacza miarę Lebesgue'a na \(\displaystyle{ (0,1)}\). Dla dwóch funkcji (a de facto klas abstrakcji) z \(\displaystyle{ L^2 (0,1)}\), powiedzmy \(\displaystyle{ f}\), \(\displaystyle{ g}\) iloczyn skalarny zadany jest wzorem
\(\displaystyle{ \langle f, g \rangle = \int_{(0,1)} f \cdot g\mathrm{d} \ell,}\)
powyższa całka jest całką względem miary Lebesgue'a \(\displaystyle{ \ell}\).