Zamiana równania na układ równań pierwszego rzędu

[MisterWolf]

Zadanie polega na zamianie równania na układ równań pierwszego rzędu:
\(\displaystyle{ y''' + (y')^2 = 0}\)
Kłopot sprawia mi tutaj kwadrat, który się pojawia w powyższym równaniu. Zadanie dotyczy działu o układach równań liniowych, ale w poleceniu nic nie jest napisane o liniowości. Czy da się to zamienić na układ równań liniowych?

[SlotaWoj]

Podstawiając:

• \(\displaystyle{ z_1=y\\
  z_2=y'\\
  z_3=y''}\)

otrzymujemy:

• \(\displaystyle{ \begin{cases}z_1'=z_2\\
  z_2'=z_3\\
  z_3'=-z_2^2\end{cases}}\)

[MisterWolf]

Tak, wiem. Ale to nie jest układ liniowy.

[SlotaWoj]

Ale w temacie zadania nie jest powiedziane, że układ ma być liniowy i nie może być liniowy – ta nieliniowość jest nieusuwalna (przynajmniej w szerokim zakresie zmiennej, bo dla wąskich to jeszcze można równania linearyzować). Wydaje mi się że zadanie przez pomyłkę zostało umieszczone w dziale: Układy równań liniowych, albo też dział ten powinien mieć tytuł: Układy równań pierwszego rzędu.

Metodami numerycznymi zazwyczaj są rozwiązywane układy równań I-rzędu i dobrze sobie one radzą z układami nieliniowymi, więc umiejętność zamiany równania wyższego rzędu na ww. układ jest ważna i stąd takie zadanie.

[MisterWolf]

Dziękuję. Tak właśnie sądziłem, chciałem się upewnić. Taka linearyzacja to byłoby zbyt miło.