Pewna własność przestrzeni unitarnej

[MisterWolf]

Niech \(\displaystyle{ x,y,z \in H}\), gdzie \(\displaystyle{ H}\) to przestrzeń unitarna.

Mam pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ ||x-z|| = ||x-y|| + ||y-z||}\) to \(\displaystyle{ y}\) jest kombinacją wypukłą \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ z}\). Implikację w przeciwną stronę umiem pokazać.

[szw1710]

Czyli tę, gdy \(\displaystyle{ z}\) jest kombinacją wypukłą W drugą stronę skorzystaj z definicji normy przez iloczyn skalarny.

Oznacz \(\displaystyle{ u=x-y}\) oraz \(\displaystyle{ v=y-z}\). Masz w ten sposób równość w nierówności Schwarza: \(\displaystyle{ \langle u,v\rangle=\|u\|\cdot\|v\|}\), co oznacza, że \(\displaystyle{ u,v}\) są liniowo zależne. Dalej pociągnij sam.

Oczywiście moja wskazówka zawiera skróty myślowe, które wypełnisz.

[MisterWolf]

Próbuję pokazać równość w nierówności Schwarza, podnoszę obie strony równania wynikającego z założenia do kwadratu i dochodzę do:
\(\displaystyle{ <u,v> + <v,u> = 2||u||||v||}\).
Zatem równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ <u,v> = <v,u>}\), ale na wykładzie w definicji przestrzeni unitarnych był warunek \(\displaystyle{ <u,v> = \overline{<v,u>}}\), czyli rozważamy zespolone.
Jak to pokazać dla zespolonych?