Dane jest
\(\displaystyle{ e^{At} = \begin{pmatrix}
2e^{2t}-e^t & e^{2t}-e^t & e^t-e^{2t} \\
e^{2t}-e^t & 2e^{2t}-e^t & e^t-e^{2t} \\
3e^{2t}-3e^t&3e^{2t}-3e^t & 3e^{t}-2e^{2t}
\end{pmatrix},}\)
należy wyznaczyć \(\displaystyle{ A}\). Jak to zrobić?
Postać wykładnicza macierzy
-
- Użytkownik
- Posty: 58
- Rejestracja: 9 paź 2009, o 20:52
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 32 razy
- Pomógł: 1 raz
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Postać wykładnicza macierzy
Wskazówka:
\(\displaystyle{ e^{At}=Pe^{J}P^{-1}}\),
gdzie
\(\displaystyle{ A=PJP{-1}}\) jest rozkładem Jordana.
"Wystarczy" więc znaleźć rozkład Jordana macierzy \(\displaystyle{ e^{At}}\), odwrócić potęgowanie macierzy \(\displaystyle{ J}\) i odtworzyć z tego \(\displaystyle{ A}\) zgodnie z powyższym wzorkiem. Macierz \(\displaystyle{ P}\) jest taka sama w obu rozkładach.
Niestety w powyższym przykładzie jest to koszmar rachunkowy, ale sprawdziłem w programie obliczenia dla macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2& 1\\ -3&2\end{bmatrix}}\) i algorytm przywrócił pierwotną macierz. Nie widzę powodu, dla którego miałoby to nie zadziałać dla większych macierzy.
\(\displaystyle{ e^{At}=Pe^{J}P^{-1}}\),
gdzie
\(\displaystyle{ A=PJP{-1}}\) jest rozkładem Jordana.
"Wystarczy" więc znaleźć rozkład Jordana macierzy \(\displaystyle{ e^{At}}\), odwrócić potęgowanie macierzy \(\displaystyle{ J}\) i odtworzyć z tego \(\displaystyle{ A}\) zgodnie z powyższym wzorkiem. Macierz \(\displaystyle{ P}\) jest taka sama w obu rozkładach.
Niestety w powyższym przykładzie jest to koszmar rachunkowy, ale sprawdziłem w programie obliczenia dla macierzy \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2& 1\\ -3&2\end{bmatrix}}\) i algorytm przywrócił pierwotną macierz. Nie widzę powodu, dla którego miałoby to nie zadziałać dla większych macierzy.