Znaleziono 1541 wyników

autor: timon92
19 paź 2019, o 00:11
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Trójkąt - nierówność [Duo]
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 217

Re: Trójkąt - nierówność [Duo]

z b=\frac{h_a}{\sin \gamma} i analogicznych równości, AM-HM oraz Jensena dla sinusa otrzymujemy $$\frac{h_a}{b+c}+\frac{h_b}{c+a}+\frac{h_c}{a+b} = \frac{1}{\frac{1}{\sin \gamma} + \frac{1}{\sin \beta}} + \frac{1}{\frac{1}{\sin \alpha} + \frac{1}{\sin \gamma}} + \frac{1}{\frac{1}{\sin \beta} + \frac...
autor: timon92
17 paź 2019, o 06:15
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Odpowiedzi: 997
Odsłony: 123698

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

@up prościej byłoby po prostu szacować ze Szwarca \(\displaystyle{ (1+ka_k^2)(1+\frac 1k) \ge (1+a_k)^2}\) i wymnożyć po wszystkich \(\displaystyle{ k}\)
autor: timon92
15 paź 2019, o 00:19
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Nierówność [Pros]
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 325

Re: Nierówność [Pros]

załóżmy, że z=\min(x,y,z) i zauważmy, że jeśli (x+y+z)^2\ge6xy , to $$\frac xy + \frac yz + \frac zx = 3 + \frac{(x-y)^2}{xy}+\frac{(x-z)(y-z)}{xz} \ge 3 + \frac{6}{(x+y+z)^2} \cdot ((x-y)^2+(x-z)(y-z)) = \frac{9(x^2+y^2+z^2)}{(x+y+z)^2}$$ pozostaje przypadek, w którym (x+y+z)^2<6xy wystarczy dowieś...
autor: timon92
13 paź 2019, o 16:24
Forum: Geometria trójkąta
Temat: nierównosc w trójkacie
Odpowiedzi: 1
Odsłony: 87

Re: nierównosc w trójkacie

czy dobrze przepisałaś treść zadania?

ta nierówność nie zawsze jest prawdziwa
autor: timon92
9 wrz 2019, o 19:57
Forum: Kółko matematyczne
Temat: [Nierówności] Najmniejsza wartość wyrażenia
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 555

Re: [Nierówności] Najmniejsza wartość wyrażenia

z mnożników Lagrange'a wyszło mi, że odpowiedź to (3t^2-1)^2 gdy t^2\ge 3 oraz (t^2+1)^3 gdy t^2<3 ,,ładny'' dowód w pierwszym przypadku może polegać na zauważeniu, że (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)=(ab+bc+ca-1)^2+(a+b+c-abc)^2 oraz obserwacji, że przy t^2\ge3 istnieją a,b,c spełniające a+b+c=abc
autor: timon92
23 sie 2019, o 10:35
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Nierówność z iloczynem
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 352

Re: Nierówność z iloczynem

przez policzenie pochodnej możemy dowieść, że dla t>0 mamy t^k\ge t^l + (k-l) \ln t i w takim razie \sum_{i=1}^n a_i^k \ge \sum_{i=1}^n a_i^l + (k-l)\sum_{i=1}^n \ln a_i \\ \phantom{\sum_{i=1}^n a_i^k}= \sum_{i=1}^n a_i^l + (k-l)\ln \prod_{i=1}^n a_i \\ \phantom{\sum_{i=1}^n a_i^k}= \sum_{i=1}^n a_i...
autor: timon92
22 sie 2019, o 09:31
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Układ bikwadraty
Odpowiedzi: 4
Odsłony: 404

Re: Układ bikwadraty

prawdopodobnie założył, że x=y=z i znalazł jedyny niezerowy rzeczywisty pierwiastek równania x+x^2+x^4=0 to ja teraz pokażę, że jeśli liczby x,y,z spełniają ten układ równań, to x=y=z po pierwsze zauważmy, że zmienne są niedodatnie, gdyż x=-y^2-z^4\le 0 i analogicznie dla y,z ze względu na cykliczno...
autor: timon92
14 sie 2019, o 16:38
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Trójkąt równoramienny
Odpowiedzi: 18
Odsłony: 797

Re: Trójkąt równoramienny

Zauważyć tu należy, że prostopadłość prostej ( CM ) do prostej ( AE ) była rozstrzygnięta w poprzednich postach tego tematu, zatem tu jest ona z założenia. moja intencja była taka, aby udowodnić podobieństwo trójkątów ADC, DEC, NMC bez odwoływania się do prostopadłości CM \perp AE i dopiero na pods...
autor: timon92
14 sie 2019, o 13:30
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Trójkąt równoramienny
Odpowiedzi: 18
Odsłony: 797

Re: Trójkąt równoramienny

Panie Wiesiu, na podstawie Pańskiego rysunku nie potrafię się rozeznać, jak dokładnie przebiega Pański argument
autor: timon92
13 sie 2019, o 18:03
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Trójkąt równoramienny
Odpowiedzi: 18
Odsłony: 797

Re: Trójkąt równoramienny

proponuję inne podejście: niech \(\displaystyle{ N}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ AD}\)

spróbuj udowodnić, że trójkąty \(\displaystyle{ ADC}\), \(\displaystyle{ DEC}\), \(\displaystyle{ NMC}\) są podobne
autor: timon92
28 lip 2019, o 19:03
Forum: Planimetria
Temat: Podobieństwo - Pompe
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 272

Re: Podobieństwo - Pompe

\(\displaystyle{ \angle CBA = \angle BCD = \angle EDB}\), zatem okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ DEB}\) jest styczny do prostej \(\displaystyle{ AB}\) i można teraz zastosować zadanie \(\displaystyle{ 66}\) z tego samego pdfa
autor: timon92
23 lip 2019, o 16:20
Forum: Geometria trójkąta
Temat: Tw. Talesa - Pompe 57
Odpowiedzi: 3
Odsłony: 294

Re: Tw. Talesa - Pompe 57

rozwijam wskazówkę:

jeśli oznaczymy przez \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) punkty przecięcia prostych \(\displaystyle{ CP}\) i \(\displaystyle{ CQ}\) z prostą \(\displaystyle{ AB}\), to wtedy trójkąty \(\displaystyle{ ACX}\) i \(\displaystyle{ BCY}\) są równoramienne (dlaczego?)

w takim razie punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są środkami odcinków \(\displaystyle{ CX}\) i \(\displaystyle{ CY}\)

wynika stąd, że \(\displaystyle{ PQ = \frac 12 XY = \ldots}\)
autor: timon92
24 cze 2019, o 16:16
Forum: Planimetria
Temat: Nierówność z okręgiem
Odpowiedzi: 2
Odsłony: 359

Re: Nierówność z okręgiem

niech \(\displaystyle{ BC}\) będzie dowolną średnicą tego okręgu

z nierówności trójkąta jest \(\displaystyle{ A_iB+A_iC\ge BC = 2}\)

zatem \(\displaystyle{ A_1B+A_2B+\ldots+A_nB+A_1C+A_2C+\ldots+A_nC \ge 2n}\)

w takim razie musi zajść przynajmniej jedna z nierówności \(\displaystyle{ A_1B+A_2B+\ldots+A_nB \ge n, \ A_1C+A_2C+\ldots+A_nC\ge n}\)
autor: timon92
13 cze 2019, o 08:45
Forum: Polska Olimpiada Matematyczna
Temat: LXIX OM
Odpowiedzi: 165
Odsłony: 37275

Re: LXIX OM

fszew, wydaje mi się, że znalazłem usterkę:
fszew pisze:\(\displaystyle{ f(x+2f(0))=f(f(x)+f(2f(0)))+2cxf(0)=\color{red}f(f(x)+f(0))\color{black}+2cxf(0)=\color{red}x\color{black}+2cxf(0)}\)
autor: timon92
19 maja 2019, o 15:39
Forum: Przekształcenia algebraiczne
Temat: Przejście w nierówności
Odpowiedzi: 5
Odsłony: 295

Re: Przejście w nierówności

@up zwyczajne czepialstwo, zastępujemy jedno wyrażenie innym, co powoduje zwiększenie wartości całego wyrażenia