[MIX] Mix matematyczny 48

[mol_ksiazkowy]

1. Udowodnić, że w grafie, w którym każdy cykl o długości co najmniej 4 ma cięciwę istnieje wierzchołek, którego sąsiedztwo jest kliką.
Cięciwa cyklu \(\displaystyle{ A_1A_2…A_nA_1 }\) to krawędź \(\displaystyle{ A_iA_j }\) taka, że \(\displaystyle{ |i-j|>1 }\) oraz \(\displaystyle{ \{ i, j \} \neq \{ 1, n \}. }\)
2. Niech \(\displaystyle{ n }\) będzie daną liczbą nieparzystą. Wyznaczyć największą możliwie wartość \(\displaystyle{ f(n) }\) taką, że jeśli \(\displaystyle{ a_1,…,a_n }\) są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, których suma jest liczbą całkowitą, to istnieje \(\displaystyle{ j }\) takie, iż \(\displaystyle{ |a_j - \frac{1}{2}| \ge f(n).}\)
3. Wyznaczyć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \mathbb{R^{+}} \to \mathbb{R} }\) takie, że
\(\displaystyle{ f(x+y)=f(x^2+y^2)}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R^{+}}}\)
gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{R^{+}}}\) to zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
4. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt[3]{2} -1} = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}}+ \sqrt[3]{\frac{4}{9}}. }\)
5. Wykazać, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n (1+ \sqrt[2^n]{2})} = \frac{1}{\ln(2)} – 1.}\)
6. W kwadracie \(\displaystyle{ ABCD }\) punkt \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ CD}\), a w punkcie \(\displaystyle{ L}\) przecina się odcinek \(\displaystyle{ KB}\) z przekątną \(\displaystyle{ AC}\). Wyznaczyć kąt \(\displaystyle{ ALB}\).
7. Jakie liczby całkowite \(\displaystyle{ a }\) i \(\displaystyle{ b }\) są takie, że:
\(\displaystyle{ a^2 }\) dzieli \(\displaystyle{ b^3 }\) oraz \(\displaystyle{ b-1 }\) dzieli \(\displaystyle{ a-1 }\) ?
8. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone \(\displaystyle{ z }\) iż \(\displaystyle{ |z^2|= |z+1|}\) i określić \(\displaystyle{ \max_{z \in A} \ |\Re(z)|}\) i \(\displaystyle{ \min _{z \in A} \ |\Re(z)|}\)
gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem rozwiązań tego równania .
9. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^3-y^3-z^3=207 \\ x-2y+z= -2 \\ x^2-2z^2 -3y=2.\end{cases}}\)

[kerajs]

4:    

\(\displaystyle{ P=\left[ \left( \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}}+ \sqrt[3]{\frac{4}{9}} \right)^3 \right]^{ \frac{1}{3} } =

\left[ \frac{1}{9} \left( 1 - \sqrt[3]{2}+ \sqrt[3]{4} \right)^3 \right]^{ \frac{1}{3} } =\\
=\left[ \frac{1}{9} \left( (1 - 3\sqrt[3]{2}+3 \sqrt[3]{4} +2)+3(1-2 \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})\sqrt[3]{4}+3(1- \sqrt[3]{2} )\sqrt[3]{16}+4 \right) \right]^{ \frac{1}{3} }= \left[ \frac{1}{9} \left( -9+9 \sqrt[3]{2} \right) \right] ^{ \frac{1}{3} }=P}\)

6:    

Jeśli przyjąć że bok kwadratu ma długość \(\displaystyle{ 6}\), to \(\displaystyle{ \left| CK\right|=2\ , \ \left| CL\right|=2 \sqrt{2} \ , \ \left| KL\right|= \sqrt{5} }\). Z tw kosinusów \(\displaystyle{ \cos(\angle ALB)=\cos(\angle CLK)= \frac{1}{ \sqrt{10} } }\)

[arek1357]

zad. 5

Łatwo zauważyć, że:

\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^{n} \left( 1+x^{ \frac{1}{2^k} }\right) = \frac{x-1}{x^{ \frac{1}{2^n} }-1} }\)

wystarczy nawiasy po kolei wymnażać i zostanie \(\displaystyle{ x-1}\)

zlogarytmujmy obustronnie:

i otrzymamy:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \ln\left( 1+x^{ \frac{1}{2^k} }\right) =\ln\left( x-1\right) -\ln\left( x^{ \frac{1}{2^n }}-1\right) /' }\)

zróżniczkujmy obustronnie i otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} \sum_{k=1}^{n} \frac{x^{ \frac{1}{2^k} }}{2^k\left( x^{ \frac{1}{x^k} }+1\right) } = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} \frac{x^{ \frac{1}{2^n} }}{2^n\left( x^{ \frac{1}{2^n} }-1 \right) } / \cdot x}\)

po wymnożeniu przez \(\displaystyle{ x}\) otrzymamy:


\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{x^{ \frac{1}{x^k} }}{2^k\left( x^{ \frac{1}{2^k} }+1\right) } = \frac{x}{x-1} - \frac{x^{ \frac{1}{2^n} }}{2^n \left( x^{ \frac{1}{x^n} }-1\right) } }\)

jest to wyrażenie podobne do naszego szeregu jakbyśmy chcieli przejść np. do nieskończoności, ale ma dwie wady:

1. Jest tylko podobne a nie takie samo

2. szereg z pewnością jest rozbieźny dla \(\displaystyle{ x>1}\)

zróbmy podstawienie:

\(\displaystyle{ x:= \frac{1}{x} }\)

i otrzymamy:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k\left( 1+x^{ \frac{1}{2^k} }\right) } = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{2^n \left( 1-x^{ \frac{1}{2^n} }\right) } }\)

lub:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k\left( 1+x^{ \frac{1}{2^k} }\right) } = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{2^n \left( x^{ \frac{1}{2^n} } -1\right) }= \frac{1}{1-x} + \frac{2^{-n}}{ x^{ 2^{-n} } -1 } , x>1 }\)

i teraz granica:

\(\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{2^{-n}}{a^{2^{-n}}-1} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{t}{a^t-1} = \frac{1}{\ln a} }\)

przechodząc do granicy nieskończonej otrzymamy:

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{1}{2^k\left( 1+x^{ \frac{1}{2^k} }\right) } = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{\ln x} , x>1 }\)

podstawiając:

\(\displaystyle{ x=2 }\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2^k\left( 1+2^{ \frac{1}{2^n} }\right) } = \frac{1}{\ln 2}-1 }\)

cnd...

zad. 3

\(\displaystyle{ f(x^2+y^2)=f(x+y)}\)

zróbmy podstawienie:

\(\displaystyle{ x=r\cos \varphi , y=r\sin \varphi}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ f(r^2)=f\left[ r \sqrt{2}\sin\left( \varphi+ \frac{\pi}{4} \right) \right] }\)

z dowolności \(\displaystyle{ r}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi}\) wynika, że funkcja musi być stała

\(\displaystyle{ f(x)=c , x>0}\)

[a4karo]

3:    

`f(x)=f(x+0)=f(x^2+0^2)=f((x/sqrt2)^2+(-x/sqrt2)^2)=f(0)`

[mol_ksiazkowy]

3 cd

Ukryta treść:    

To jest bardzo eleganckie, ale czy to przejdzie gdy dziedzina \(\displaystyle{ f}\) jest \(\displaystyle{ \mathbb{R^{+}}}\) ?

[timon92]

3:    

\(f(x)=f(t+(x-t))=f(t^2+(x-t)^2)\) dla dowolnego \(0<t<x\) --- widzimy stąd, że funkcja jest stała na przedziale \((\frac 12x^2,x^2)\) dla dowolnego \(x\), a więc stała na \(\mathbb R^+\)

[mol_ksiazkowy]

2

Ukryta treść:    

szkic \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}}\) ; równość, gdy \(\displaystyle{ n=2k+1 }\) i \(\displaystyle{ a_j = \frac{k}{n}}\) dla \(\displaystyle{ j=1,...,n }\)

3 cd

Ukryta treść:    

To samo pytanie gdy \(\displaystyle{ f(x+1)= f(x^2+1)}\)

[arek1357]

w kwestii:

\(\displaystyle{ f(x+1)=f(x^2+1)}\)

lub wygodniej:

\(\displaystyle{ f(x)=f(x^2-2x+2) }\)

pokusiłbym się o rozbicie zbioru rzeczywistych na sumę rozłącznych \(\displaystyle{ A_{\alpha}}\)

gdzie jeżeli \(\displaystyle{ x \in A_{\alpha} \Rightarrow x^2-2x+2 \in A_{\alpha} }\)

\(\displaystyle{ \\R= \bigcup_{\alpha \in T}^{} A_{\alpha}}\)

\(\displaystyle{ f(x)=a_{\alpha} , x \in A_{\alpha}}\)

np:

\(\displaystyle{ A_{i}=\left\{ 0 , 2 \right\} }\)

[mol_ksiazkowy]

czyli na \(\displaystyle{ (0, 1) \cup \langle1, 2) \cup \langle2, 5) \cup .... }\)

[arek1357]

Czemu tak...

niech np:

\(\displaystyle{ x= \frac{1}{2} ,x^2-2x+2= \frac{5}{4} \in A_{j} ,.... \left( \frac{5}{4} \right)^2-2 \cdot \frac{5}{4}+2= \frac{17}{16} ,... \in A_{j} }\)

\(\displaystyle{ 0^2-2 \cdot 0+2=2 , 2^2-2 \cdot 2+2=0}\)

tu się sytuacja zapętla i dlatego:

\(\displaystyle{ A_{i}=\left\{ 0,2\right\} }\)

[mol_ksiazkowy]

4 cd

Ukryta treść:    

W 4 chyba lepiej na symbolach np. \(\displaystyle{ a = \sqrt[3]{2} }\) itd.

[arek1357]

A w pierwszym to zawsze sprowadzi się raczej do kliki trójkąta...tak mi się widzi to...

[mol_ksiazkowy]

9

Ukryta treść:    

chyba bardziej na komputery; istnieje rozwiązanie /czy jedyne?/ A i liczyłem trochę, że Brombal to rozwiąże ....
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=17 \\ y=15 \\ z=11 \end{cases}}\)

[arek1357]

jest chyba jeszcze jedno rozwiązanie

Za to drugie bo albo jest za proste albo treść pogmatwana...

I w trzecim a4Karo przechodzi zbyt śmiało ponad granicę dziedziny...

Co do 7 czekam aż Brombal wrzuci a jak nie to pokażę co skleciłem na brudno i szybko...

A co do ósmego wychodzi jakaś fasolka w której nietrudno poszukać kresów...

Zad.7

\(\displaystyle{ a^2|b^3}\)

Można z tego wywnioskować o ile a nie jest jedynką lub minus jedynką, że każdy pierwszy dzielnik z potęgą liczby a dzieli również b co oznacza:

\(\displaystyle{ a=\epsilon_{1} p_{1}^{r_{1}} \cdot ... \cdot p_{k}^{r_{k}} }\)

\(\displaystyle{ b=\epsilon_{2} \beta p_{1}^{s_{1}} \cdot ... \cdot p_{k}^{s_{k}} }\)

\(\displaystyle{ \epsilon_{1} , \epsilon_{2} = \pm 1 , (\beta , p_{i})=1 , 2r_{i} \le 3s_{i} , \beta>0}\)

te warunki w zupełności wystarczą na spełnienie tego, aby: \(\displaystyle{ a^2|b^3}\)

warunek drugi:

\(\displaystyle{ b-1|a-1}\)

implikuje aby:

\(\displaystyle{ \left| b-1\right| \le \left| a-1\right| }\)

lub:

\(\displaystyle{ \left| \epsilon_{2} \beta p_{1}^{s_{1}} \cdot ... \cdot p_{k}^{s_{k}}-1 \right| \le \left| \epsilon_{1} p_{1}^{r_{1}} \cdot ... \cdot p_{k}^{r_{k}} -1\right| }\)

połóżmy:

\(\displaystyle{ t= p_{1}^{r_{1}} \cdot ... \cdot p_{k}^{r_{k}} }\)

to się uzgrabni:

\(\displaystyle{ \left| \epsilon_{2} \beta t-1 \right| \le \left| \epsilon_{1}t -1\right| }\)

teraz nie będę wszystkiego pisał tak w skrócie mamy cztery przypadki:

1) \(\displaystyle{ \epsilon_{1} , \epsilon_{2} =1,1 }\)

2) \(\displaystyle{ \epsilon_{1} , \epsilon_{2} =1,-1 }\)

3) \(\displaystyle{ \epsilon_{1} , \epsilon_{2} =-1,1 }\)

4) \(\displaystyle{ \epsilon_{1} , \epsilon_{2} =-1,-1 }\)

zakładam najpierw, że: \(\displaystyle{ t \ge 2}\)

z tego już nie wdając się w obliczenia (tam trzeba tylko sprawdzić kilka prostych nierówności) otrzymałem, że:

\(\displaystyle{ \left( a=b \neq (0,0) , (1,1)\right) ; \left( a=-2 , b=4\right) ; \left( a=-2 , b=2\right) }\)

trzeba dołożyć jeszcze takie przypadki jak np:

\(\displaystyle{ a= \pm 1}\)

\(\displaystyle{ (1,b) , b \neq 0 ; \left( -1,2\right) }\)

oraz:

\(\displaystyle{ (a,0) , a \neq 0 }\)

może coś przeoczyłem...

[mol_ksiazkowy]

7 cd

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a= b }\) ??!