Dziwne działania na punktach płaszczyzny

[Jakub Gurak]

Zmierzając do dowodu twierdzenia o kanapcę ( ) natknąłem się na pewną dziwną notacje:

Lemat:
Jeśli \(\displaystyle{ f: \textbf{S} ^{2} \rightarrow \RR ^{2} }\) jest odwzorowaniem ciągłym sfery w płaszczyznę, takim, że mamy zawsze \(\displaystyle{ f\left( -x \right)=-f\left( x\right),}\) to istnieje taki punkt \(\displaystyle{ a \in \textbf{S} ^{2}, }\) że \(\displaystyle{ f\left( a\right)= \textbf{0}=\left( 0,0\right).}\)

To na razie jest (przynajmniej w sformułowaniu) w miarę jasne.
Ale w dowodzie tego faktu:

Dowód:
Jeśli byłoby zawsze \(\displaystyle{ f\left( x\right) \neq \textbf{0} }\), to wzór: \(\displaystyle{ g\left( x\right)=f\left( x\right)\green{/}\blue{|} f\left( x\right)\blue{|}, }\) określałby odwzorowanie ciągłe \(\displaystyle{ g: \textbf {S} ^{2} \rightarrow \textbf{S} ^{1},}\) takie, że zawsze \(\displaystyle{ g\left( -x \right)=-g\left( x\right)}\) -sprzeczność.\(\displaystyle{ \square}\)

Nie rozumiem co oznaczają podkreślone działania...
Hm... A może, dla \(\displaystyle{ f \left( x\right)=:\left( a,b\right) \in \RR ^{2}, }\) może wtedy \(\displaystyle{ \left| f\left( x\right) \right| }\) oznacza moduł liczby zespolonej \(\displaystyle{ a+bi}\)??

[matmatmm]

Dokładnie to oznacza. Nie rozumiem skąd Twoje wątpliwości.

[Jakub Gurak]

Chwilę, w Mioduszewskim skrypcie z Topologii przestrzeni euklidesowych mamy twierdzenie :

Nie istnieje odwzorowanie ciągłe sfery w okrąg zachowujące antypodyzm.

A ja wpierw spytam:
Czy jest możliwy do znalezienia przykład przekształcenia ciągłego sfery w okrąg

[timon92]

jeszcze jak, np. dowolne przekształcenie stałe jest ciągłe

[a4karo]

Jeżeli `f` jest dowolną funkcją rzeczywistą ciągłą na `S^2`, to `(\cos f(x),\sin f(x))` będzie ciągła funkcją z `S^2` w `S^1`, a od obrazu `f` zależy, czy będzie surjekcją.

[Dasio11]

Co więcej, wszystkie funkcje ciągłe \(\displaystyle{ S^2 \to S^1}\) są tej postaci.

[a4karo]

To nie jest trywialne stwierdzenie. Istnieją funkcje `f` nieciągłe, dla których `(\cos f,\sin f)` jest ciągła. Potrafisz podać szybki argument, że wtedy istnieje ciągła funkcja `g` taka, że `(\cos f,\sin f)=(\cos g,\sin g)`?

[Dasio11]

Czy powołanie się na Proposition 1.33 z legendarnej książki Algebraic Topology Allena Hatchera jest wystarczająco szybkie?

[a4karo]

Jeżeli Jakub Gurak to czytał, to tak . Ja tego nie znam

[Dasio11]

Niech \(\displaystyle{ p : (\widetilde{X}, \tilde{x}_0) \to (X, x_0)}\) będzie nakryciem a \(\displaystyle{ f : (Y, y_0) \to (X, x_0)}\) funkcją ciągłą, przy czym \(\displaystyle{ Y}\) jest drogowo spójna i lokalnie drogowo spójna. Wtedy podniesienie \(\displaystyle{ \widetilde{f} : (Y, y_0) \to (\widetilde{X}, \widetilde{x}_0)}\) funkcji \(\displaystyle{ f}\) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ f_{\ast}( \pi_1( Y, y_0) ) \subseteq p_{\ast}( \pi_1( \widetilde{X}, \widetilde{x}_0 ) )}\).

W tym przypadku \(\displaystyle{ p : \mathbb{R} \to \mathbb{S}^1}\), \(\displaystyle{ p(t) = (\cos t, \sin t)}\) jest nakryciem, sfera \(\displaystyle{ \mathbb{S}^2}\) jest drogowo spójna i lokalnie drogowo spójna a \(\displaystyle{ f : \mathbb{S}^2 \to \mathbb{S}^1}\) jest dowolną funkcją ciągłą. Oczywiście można tak dobrać punkty \(\displaystyle{ \tilde{x}_0 \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{ x_0 \in \mathbb{S}^1}\) i \(\displaystyle{ y_0 \in \mathbb{S}^2}\) żeby się zgadzało. Warunek \(\displaystyle{ f_{\ast}( \pi_1( \mathbb{S}^2, y_0) ) \subseteq p_{\ast}( \pi_1( \mathbb{R}, \tilde{x}_0 ) )}\) jest trywialnie spełniony bo \(\displaystyle{ \mathbb{S}^2}\) jest jednospójna, tj. \(\displaystyle{ \pi_1( \mathbb{S}^2, y_0) = \{ 1 \}}\). Na mocy przytoczonego faktu istnieje podniesienie \(\displaystyle{ \tilde{f} : \mathbb{S}^2 \to \mathbb{R}}\) funkcji \(\displaystyle{ f}\), czyli dokładnie taka funkcja że \(\displaystyle{ f(t) = p(\tilde{f}(t)) = (\cos \tilde{f}(t), \sin \tilde{f}(t))}\).