Krotność

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić że dowolna liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\) nie podzielna ani przez 2 ani przez 5 ma wielokrotność, w której z każda z cyfr \(\displaystyle{ 0,...,9}\) jest tę samą ilość razy.

[Dasio11]

Rozwiązanie:    

Z zasady szufladkowej istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ 0 \le p < q \le n}\), takie że

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^q 10^{10i} \equiv \sum_{i=0}^p 10^{10i} \pmod{n}}\).

Wtedy \(\displaystyle{ \sum_{i=p+1}^q 10^{10i} = 10^{10(p+1)} \sum_{i=0}^{q-p-1} 10^{10i}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \operatorname{NWD}(n, 10) = 1}\), dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\) także \(\displaystyle{ s = \sum_{i=0}^{q-p-1} 10^{10i}}\). Wtedy zaś liczba \(\displaystyle{ 5276108493 \cdot s}\) jest szukaną wielokrotnością.

[Jakub Gurak]

liczba \(\displaystyle{ \textbf{5276108493} \cdot s}\) jest szukaną wielokrotnością.

Mogę wiedzieć co szczególnego jest w tej liczbie wziętej z sufitu Czy to nie jest pomyłka??

[timon92]

ta liczba ma bardzo ciekawą własność --- w jej zapisie dziesiętnym każda cyfra występuje dokładnie raz

[Jakub Gurak]

To ja wolałbym wziąć: \(\displaystyle{ 1234567890 \cdot s.}\)

[Samouk1]

ta liczba ma bardzo ciekawą własność --- w jej zapisie dziesiętnym każda cyfra występuje dokładnie raz

Zgadzam się z Jakubem Gurakiem, wielokrotność tej liczby niekoniecznie ma tę własność, a dowolne \(\displaystyle{ n}\) wskazywałoby na liczby również większe od tej liczby. Rozwiązania nie analizowałem bardzo dokładnie (brakuje mi ostatnio czasu/siły/chęci/innej wymówki), ale jest dla mnie trudne.

[Dasio11]

To przyjrzyj się liczbie \(\displaystyle{ 736 \cdot 1001001}\).