Matematyka.pl

Obliczyć sumę szeregów potęgowych:

a) \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n (3n + 1) (x - 3)^n

Doprowadziłem to do postaci: \sum_{n=1}^{ \infty } (3n+1) \cdot y^n , gdzie y = (3-x) , ale dalej nie mam pojęcia co robic...


b) \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{2n}}{5^n(n+1)}

Tutaj podstawiłem y =\frac{ x^2 ...

Wskazać zbiór uporządkowany, który zawiera antyłańcuch dowolnej wielkości, ale nie zawiera antyłańcucha nieskończonego.

Nie jestem w stanie wyobrazić sobie takiego zbioru, proszę o wskazówki.

Niech R i S będą relacjami równoważności w zbiorze X. Czy R \cup S i R \cap S są relacjami równoważności? Udowodnić.

Znam tylko odpowiedzi, jednak za nic w świecie nie jestem w stanie wyprowadzić dowodu. Zacznijmy od najprostszych, czyli jak pokazać że R \cup S jest symetryczna i jak pokazać, że R ...

W b) albo nie rozumiem zapisu, albo ta relacja zachodzi dla dowolnych zbiorów. Bo skoro C nie jest określony, to C może być zbiorem pustym, a ten zawiera się w A \cap B dla dowolnych A i B, prawda?
Zapis jest niepoprawny.

JK

A gdyby założyć, że autorowi chodziło o to, że C zawiera się w ...

Sprawdzić czy poniższe są relacjami równoważności. Podać klasy abstrakcji.

a) dla \ (x,y),(z,u)\in\mathbb{R}^{2}, \ (x,y)\sim(u,v) \Leftrightarrow x^{2}+y ^{2} = z ^{2} + u ^{2}
b) dla \ A,B,C \in X, \ A \sim B \Leftrightarrow A \cap B \supset C

Czy w a) klasa abstrakcji to będzie po prostu ...

Należy sprawdzić czy dana funkcja jest ciągła w punkcie x _{0} = 0 .

f(x) = \begin{cases} 2sin \frac{1}{x^{2}} + 3x^{2}cos \frac{1}{x^{2}} + 1 \ , dla \ x \neq 0 \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,dla \ x=0\end{cases}


Ciężko sprawdzić tu lewo- i prawostronną granicę ...

Dwa przykłady:

f(x) = log_{(1-x)}sinx \\
f(x) = (tgx)^{3x^{2}}

W pierwszym przykładzie kompletnie nie wiem co zrobić, żaden ze znanych mi wzorów nie pomaga, a nie do końca wiem jak zastosować twierdzenie o różniczkowaniu superpozycji.

W drugim zamieniłem f(x) na f(x) = e^{3x^{2} \cdot ln(tgx ...

Tak jak piszę - próbowałem korzystać z def. jednostajnej ciągłości, ale gubię się w tym, nie potrafię odpowiednio dobrać epsilona i sigmy - stąd proszę o bardziej konkretną pomoc.

Takiego twierdzenia jeszcze nie miałem, więc nie mogę z niego korzystać.

Czy poniższe funkcje są jednostajnie ciągłe? Uzasadnić:

f(x) = cos^{2}x, \ x \in R \\
f(x) = cos(sinx), \ x \in R


Próbowałem i z Lipschitza i z definicji, ale mimo że przykłady są proste, to jakoś się w tym gubię. Byłbym wdzięczny za dokładne (acz zrozumiałe) wytłumaczenie metody rozwiązywania ...

Taki przykład. Obliczyć granicę funkcji:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } (cos \sqrt{ x^{2} +7 } - cosx)}\)

Rozbijam to ze wzoru na różnicę cosinusów i... tu pomysły się kończą. Mnożenie przez sprzężenie wewnątrz argumentu sinusa nic nie pomaga, z trzech funkcji chyba też nie pójdzie. Jak to zrobić?

Jestem z pochodnych kompletnym żółtodziobem, stąd proszę o wytłumaczenie jak najbardziej fundamentalne...

1) Jak się liczy pochodną z pierwiastka n-stopnia? Mam przykładowo coś takiego:

\sqrt[4]{1-5x}

Jak policzyć tu pochodną?


2) I drugie. Jeśli (tgx)' = \frac{1}{ cos^{2}x } , to dlaczego (tg ...

Witam! Bardzo proszę o pomoc z poniższym przykładem:

Zbadać ciągłość funkcji.

f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ \ f(x) = \begin{cases} sin( \pi x) \ dla \ x \in \mathbb{Q} \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ x \not\in \mathbb{Q} \end{cases}


Wiem tylko, że najwygodniej będzie tu wybrać dwa ...

No tak, jasne, \(\displaystyle{ a}\) jest określone, więc możemy je wyrzucić poza pochodną...

Ale dlaczego mi wyszły w takim razie takie głupoty w obliczeniach? Nie mogę w ogóle w tym wypadku używać wzoru na pochodną ilorazu, czy błąd jest gdzieś indziej?

Nie rozumiem... Jak to ma pomóc w znalezieniu błędu w moim rozumowaniu?

Przecież jak bym nie zamieniał podstawy logarytmu, to nie doprowadzę tego:

\(\displaystyle{ \frac{x\cdot\ln x}{a\cdot\ln a\cdot x\cdot\ln a}}\) do zera?