Podać klasy abstrakcji

[OzzyM]

Sprawdzić czy poniższe są relacjami równoważności. Podać klasy abstrakcji.

a) \(\displaystyle{ dla \ (x,y),(z,u)\in\mathbb{R}^{2}, \ (x,y)\sim(u,v) \Leftrightarrow x^{2}+y ^{2} = z ^{2} + u ^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ dla \ A,B,C \in X, \ A \sim B \Leftrightarrow A \cap B \supset C}\)

Czy w a) klasa abstrakcji to będzie po prostu \(\displaystyle{ \lbrace (z,u)\in\mathbb{R}^{2}:\ z ^{2} + u ^{2} = x^{2}+y ^{2} \rbrace}\) ?? Czy trzeba wymyśleć coś bardziej konkretnego? I czy taki zapis jest poprawny?

W b) albo nie rozumiem zapisu, albo ta relacja zachodzi dla dowolnych zbiorów. Bo skoro C nie jest określony, to C może być zbiorem pustym, a ten zawiera się w \(\displaystyle{ A \cap B}\) dla dowolnych A i B, prawda?

[kristoffwp]

Zapis \(\displaystyle{ \lbrace (z,u)\in\mathbb{R}^{2}:\ z ^{2} + u ^{2} = x^{2}+y ^{2} \rbrace}\) jest dziwny, bo co to jest x i y? Powinno być:
\(\displaystyle{ \left[ (x,y)\right] =\lbrace (z,u)\in\mathbb{R}^{2}:\ z ^{2} + u ^{2} = x^{2}+y ^{2} \rbrace}\)

To drugie dziwne. Ja to rozumiem tak: Dany jest zbiór C. I potem dopiero def relacji. Dla wyróżnionego zbioru C A i B będą w relacji, o ile \(\displaystyle{ C \subseteq A \wedge C \subseteq B}\)

[Jan Kraszewski]

Czy w a) klasa abstrakcji to będzie po prostu \(\displaystyle{ \lbrace (z,u)\in\mathbb{R}^{2}:\ z ^{2} + u ^{2} = x^{2}+y ^{2} \rbrace}\) ?? Czy trzeba wymyśleć coś bardziej konkretnego? I czy taki zapis jest poprawny?

Trzeba wymyślić coś bardziej konkretnego. To, co napisałeś, to przepisanie definicji klasy abstrakcji pary \(\displaystyle{ (x,y)}\).

W b) albo nie rozumiem zapisu, albo ta relacja zachodzi dla dowolnych zbiorów. Bo skoro C nie jest określony, to C może być zbiorem pustym, a ten zawiera się w \(\displaystyle{ A \cap B}\) dla dowolnych A i B, prawda?

Zapis jest niepoprawny.

JK

[kristoffwp]

Co do pierwszego, to klasy abstrakcji są okręgami o środku (0,0).

[OzzyM]

W b) albo nie rozumiem zapisu, albo ta relacja zachodzi dla dowolnych zbiorów. Bo skoro C nie jest określony, to C może być zbiorem pustym, a ten zawiera się w \(\displaystyle{ A \cap B}\) dla dowolnych A i B, prawda?

Zapis jest niepoprawny.

JK

A gdyby założyć, że autorowi chodziło o to, że C zawiera się w części wspólnej A i B? Czy moje rozumowanie jest poprawne?

Trzeba wymyślić coś bardziej konkretnego. To, co napisałeś, to przepisanie definicji klasy abstrakcji pary (x,y).

Czyli co dokładnie? Kompletnie nie mam pomysłu jak bardziej szczegółowo ująć klasę abstrakcji tej relacji.

PS: Bo chodziło mi o dokładnie taki zapis jak podał kristoffwp, ale zakładam że to było oczywiste.

[Jan Kraszewski]

A gdyby założyć, że autorowi chodziło o to, że C zawiera się w części wspólnej A i B?

Ale to jeszcze za mało - definicja dalej jest niekompletna, bo nie wiemy nic o \(\displaystyle{ C}\). Jedną z wersji uzupełnienia definicji podał kristoffwp, ale wtedy własności tej relacji zależą od \(\displaystyle{ C}\) (nie możesz też manipulować tym \(\displaystyle{ C}\)).

Czyli co dokładnie? Kompletnie nie mam pomysłu jak bardziej szczegółowo ująć klasę abstrakcji tej relacji.

PS: Bo chodziło mi o dokładnie taki zapis jak podał kristoffwp, ale zakładam że to było oczywiste.

Kristoffwp opisał klasy abstrakcji słownie. Formalnie klasy abstrakcji to

\(\displaystyle{ A_t=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2=t\}}\) dla \(\displaystyle{ tin[0,+infty)}\).

JK