Suma szeregu potęgowego

[OzzyM]

Obliczyć sumę szeregów potęgowych:

a) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^n (3n + 1) (x - 3)^n}\)

Doprowadziłem to do postaci: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (3n+1) \cdot y^n}\), gdzie \(\displaystyle{ y = (3-x)}\), ale dalej nie mam pojęcia co robic...


b) \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{2n}}{5^n(n+1)}}\)

Tutaj podstawiłem \(\displaystyle{ y =\frac{ x^2}{5}}\), i pomysły mi się kończą, nie mam pojęcia jak sprowadzić \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{y^n}{n+1}}\) do sensownej postaci...


Z góry dzięki.

[fon_nojman]

a) Skorzystaj z \(\displaystyle{ \frac{t}{1-t^3}=\left(t\sum_{n=1}^{\infty}(t^{3})^n\right)'=\left(\sum_{n=1}^{\infty}t^{3n+1}\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}(3n+1)t^{3n},\ |t|<1.}\)

b) \(\displaystyle{ \int \frac{1}{1-y} dy=\int \left(\sum_{n=1}^{\infty} y^n\right) dy=\sum_{n=1}^{\infty} \left(\int y^n dy\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^{n+1}}{n+1}=y\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n+1},}\)
\(\displaystyle{ |y|<1.}\)