Podstawowy wzór na pochodną z logarytmu

[OzzyM]

Witam!

Na zajęciach mieliśmy podany podstawowy wzór na pochodną z logarytmu:

\(\displaystyle{ (\log _ax)' = \frac{1}{\ln a \cdot x}}\)

Próbowałem go wyprowadzić przy pomocy wzoru na pochodną ilorazu:

\(\displaystyle{ (\log _ax)' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{(\ln x)'\cdot\ln a-(\ln a)'\cdot\ln x}{\ln a\cdot\ln a} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{\frac{\ln a}{x}-\frac{\ln x}{a}}{\ln a\cdot\ln a}=\frac{a\cdot\ln a-x\cdot\ln x}{a\cdot x\cdot\ln a\cdot\ln a} =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1-\frac{x\cdot\ln x}{a\cdot\ln a}}{x\cdot\ln a} = \frac{1}{x\cdot\ln a}-\frac{x\cdot\ln x}{a\cdot\ln a\cdot x\cdot\ln a}}\)

Co nie zgadza się z podanym wzorem. Gdzie jest błąd?

[miodzio1988]

A znasz wzór na zamianę podstawy logarytmu? ;]

Zastosuj go.

[OzzyM]

Nie rozumiem... Jak to ma pomóc w znalezieniu błędu w moim rozumowaniu?

Przecież jak bym nie zamieniał podstawy logarytmu, to nie doprowadzę tego:

\(\displaystyle{ \frac{x\cdot\ln x}{a\cdot\ln a\cdot x\cdot\ln a}}\) do zera?

[miodzio1988]

Bez sensu moja wskazówka była..., przecież skorzystałeś z tego wzoru.

\(\displaystyle{ (\log _{a}x)' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{1}{\ln a}(\ln x)'}\)

Bo to stała jest. No i teraz wiadomo. ;]

[OzzyM]

No tak, jasne, \(\displaystyle{ a}\) jest określone, więc możemy je wyrzucić poza pochodną...

Ale dlaczego mi wyszły w takim razie takie głupoty w obliczeniach? Nie mogę w ogóle w tym wypadku używać wzoru na pochodną ilorazu, czy błąd jest gdzieś indziej?

[miodzio1988]

Istnieje Ale jest równa zero.

[kubadt]

Po wpisaniu w wyszukiwarce hasła "pochodna z logarytmu" jako jedna z pierwszych wyskakuje ta strona. Na pytanie autora nikt nie odpowiedział od 7 lat. W związku z tym nie "odkopuje" tematu, tylko odpowiadam na pytanie, na które ktoś potencjalnie odpowiedzi szuka.

W pytaniu mamy następujące przekształcenie:

• \(\displaystyle{ (\log _{a}x)' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{(\ln x)'\cdot\ln a-(\ln a)'\cdot\ln x}{\ln a\cdot\ln a} =}\)

Błąd polega na tym, że:

• \(\displaystyle{ (\ln a)'\neq\frac{1}{a}}\)

Jeżeli wykonujemy pochodną „po \(\displaystyle{ x}\) ”, to składnik ten nie jest w ogóle zależny od \(\displaystyle{ x}\) , w związku z tym pochodna z tego składnika jest równa 0. Co za tym idzie, poprawne przekształcenie ma postać:

• \(\displaystyle{ (\log _ax)' = \left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)' = \frac{(\ln x)'\cdot\ln a-(\ln a)'\cdot\ln x}{\ln a\cdot\ln a} = \frac{\frac{\ln a}{x}-0\cdot\ln x}{\ln a\cdot\ln a} = ...}\)

Zwróćmy w tym momencie uwagę na to, że drugi składnik licznika zeruje się – to jest popełniony w podanym przez OP rozwiązaniu błąd. Kontynuując przekształcenie...

• \(\displaystyle{ ... = \frac{\frac{\ln a}{x}-0\cdot\ln x}{\ln a\cdot\ln a} = \frac{1}{x\cdot\ln a}}\)

QED

[SlotaWoj]

Odpowiedział Miodzio1988, trochę mało wyraziście (pewnie nie był w formie), ale OzzyM zrozumiał.

Po Twoim poście jest już „hiper OK”.